Considere a curva espacial parametrizada
Onde
Seja a imagem ou traço de .
- Encontre e explicite uma função definida em todo e uma curva de nível tal que é a curva de interseção entre o gráfico de e o cilindro vertical sobre a curva , ou seja
- Explicite o normal ao gráfico de (a mesma do item ) no ponto e escreva a equação paramétrica do plano tangente ao gráfico de em .
Onde
Sugestão: encontre uma relação entre e e outra relação entre , e baseadas em relações trigonométricas básicas.
Passo 1
Nosso objetivo aqui é definir uma função de duas variáveis, e , e uma curva de nível
Sabendo que a nossa curva parametrizada
É a curva de interseção entre o gráfico da função e da curva de nível que a gente vai definir.
Aí a questão sugeriu que a gente encontrasse primeiro uma relação entre e baseado nas relações trigonométricas e depois encontrasse uma outra relação entre , e também baseado nas relações trigonométricas.
Vamos tentar.
Passo 2
Vamos primeiro tentar relacionar e então.
Sabemos que
Qual a relação trigonométrica que envolve seno e cosseno ao cubo que a gente conhece (ou se lembra)?
Isso mesmo, nenhuma hahah
Maaas, tem uma que envolve seno e cosseno ao quadrado que a gente usa bastante, que é a relação fundamental da trigonometria. Vamos tentar usar?
Beleza, na nossa curva o seno e cosseno estão ao cubo, então vamos tentar isolá-los.
Então agora a gente vai pegar e onde tiver seno na relação fundamental vamos colocar e onde tiver cosseno, vamos colocar , ok? Com isso, ficamos com
E OLHA AÍIIIIIII
Isso já é uma equação para a tal da curva de nível!
Assim,
Passo 3
Agora vamos relacionar
Bom, já sabemos que
E, além disso, da nossa curva,
Assim, substituindo o seno e cosseno que isolamos ali em cima:
E como
Temos que
Show de bola?!
Passo 4
Precisamos, primeiramente, achar um vetor normal à superfície que é gráfico de em .
E depois, vamos ter que achar a equação paramétrica do plano tangente em .
Para achar o vetor normal basta a gente jogar tudo pra um lado só na equação de e chamar isso de :
O vetor normal ao gráfico de será o vetor gradiente dessa função :
No ponto :
Passo 5
Agora, pra fechar, a equação paramétrica do plano tangente é dada por
Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.
Um desses vetores paralelos ao plano é mais tranquilo de achar, pois é só a gente pensar no vetor que tá na mesma direção da curva , ou seja, o vetor tangente à curva, que é o vetor
Para encontra-lo, é só derivar a curva e depois substituir no ponto .
Substituindo em , temos
Assim,
Pois ele tá direção tangente à curva e estamos procurando o plano tangente à curva, certo?
Passo 6
Beleza, mas ainda falta o outro vetor paralelo ao plano.
E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.
Vamos com calma. Queremos um vetor paralelo ao plano e temos um outro vetor paralelo ao plano, o vetor , e um vetor normal ao plano, o vetor
Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.
E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.
E agora veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à ) e um vetor normal a esse plano.
Certo? Então vamos fazer esse produto vetorial:
Ou qualquer vetor múltiplo desse!
Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente: