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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

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Exercício 61234578910111213

Enunciado

Seja

h x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y , - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1   ,     ( x , y ) ∈ R 2

Seja

u x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y

v x , y = - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1

Seja f : R 2 → R   ,   u , v → f ( u , v ) , uma função que pode ser diferenciada à vontade com respeito à u e á v .

Considere a composta

g x , y = f h x , y   ,   ( x , y ) ∈ R 2

Assuma que

f 1,1 = c

f u 1,1 = a

f v 1,1 = b

a , b , c ≠ 0

  1. Calcule ∇ g ( 1,0 ) em termo de a ,   b .
  2. Considere a curva de nível D = x , y ∈ R 2   g x , y = c } . Exiba a equação cartesiana da reta tangente à D em ( 1,0 ) , justificando que ( 1,0 ) ∈ D .

Passo 1

a )

Nossa função g é uma função composta onde a função de fora é função de duas variáveis u e v e as funções de dentro são funções de outras duas variáveis x e y . Assim,

f = h ( u , v )

u x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y

v x , y = - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1

Para derivar essa função, vamos precisar portanto usar a regra da cadeia pro caso de mais de um parâmetro, assim:

∂ g ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

E

∂ g ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Acontece que queremos nossa derivada de g no ponto x , y = ( 1,0 ) , assim, temos que descobrir o valor de u ,   v :

u 1,0 = e - 2 . 1 + 2 cos ⁡ 2 . 0 = 1

v 1,0 = - e - 2 . 1 + 2 sen ⁡ 2 . 0 + 1 = 1

Portanto, nossas derivadas ficam:

∂ g ∂ x ( 1,0 ) = ∂ f ∂ u ( 1,1 ) ∂ u ∂ x ( 1,0 ) + ∂ f ∂ v ( 1,1 ) ∂ v ∂ x ( 1,0 )

E

∂ g ∂ y ( 1,0 ) = ∂ f ∂ u ( 1,1 ) ∂ u ∂ y ( 1,0 ) + ∂ f ∂ v ( 1,1 ) ∂ v ∂ y ( 1,0 )

Passo 3

Alguns valores dessas derivadas o enunciado já nos deu. Outros a gente ainda precisa calcular. Vamos calcular os que não temos, depois a gente só substitui tudo, ok?

u x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y

∂ u ∂ x = - 2 e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y ⇒ ∂ u ∂ x ( 1,0 ) = - 2

∂ u ∂ y = - 2 e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y ⇒ ∂ u ∂ y 1,0 = 0

E

v x , y = - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1

∂ v ∂ x = 2 e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y ⇒ ∂ v ∂ x 1,0 = 0

∂ v ∂ y = - 2 e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y ⇒ ∂ v ∂ y 1,0 = - 2

Passo 4

Agora substituindo tudo que temos:

∂ g ∂ x ( 1,0 ) = ∂ f ∂ u ( 1,1 ) ∂ u ∂ x ( 1,0 ) + ∂ f ∂ v ( 1,1 ) ∂ v ∂ x ( 1,0 )

∂ g ∂ x 1,0 = a ∙ - 2 + b ∙ 0 = - 2 a

E

∂ g ∂ y ( 1,0 ) = ∂ f ∂ u ( 1,1 ) ∂ u ∂ y ( 1,0 ) + ∂ f ∂ v ( 1,1 ) ∂ v ∂ y ( 1,0 )

∂ g ∂ y 1,0 = a ∙ 0 + b ∙ - 2 = - 2 b

Portanto,

∇ g 1,0 = ( - 2 a , - 2 b )

Passo 5

b )

Como

g x , y = f h x , y

Então,

g 1,0 = f h 1,0 = f u 1,0 , v 1,0 = f 1,1

Pois vimos lá no passo 2 que quando x , y = ( 1,0 ) , u , v = ( 1,1 ) .

E, do enunciado,

f 1,1 = c

Assim,

g 1,0 = c

Logo, 1,0 ∈ D , já que D é tal que

D = x , y ∈ R 2   g x , y = c }

Show de bola?

Passo 6

Agora para achar a equação da reta tangente à curva g x , y = c em ( 1,0 ) é só a gente pensar que o vetor gradiente de g em ( 1,0 ) que a gente achou ali na letra a é um vetor perpendicular a essa curva.

Então, se fizermos o produto escalar desse vetor com um vetor que pertença a curva, tem que dar zero e ainda achamos uma equação cartesiana pra reta

Assim,

∇ g 1,0 ∙ x - 1 , y - 0 = 0

- 2 a , - 2 b ∙ x - 1 , y - 0 = 0

a x + b y = a

Resposta

a )

∇ g 1,0 = ( - 2 a , - 2 b )

b )

a x + b y = a

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