G3 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2013.1

Seja a região do espaço definida por

Considere a função

E a integral tripla

a) Escreva na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

b) Escreva na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Calcule .

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

E a superfície de nível

c) Determine se é um elipsoide, um paraboloide hiperbólico (sela), um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Dica: Para este item, leve em conta que a matriz:

tem autovalores e .

d) Determine um vetor não nulo de maneira que todo plano ortogonal a corta ao longo de elipses, isto é:

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

E a superfície de nível

a) Classifique os pontos críticos da função determinando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

E a superfície de nível

b) Escreva a aproximação quadrática da função no ponto .