Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

E a superfície de nível

c) Determine se é um elipsoide, um paraboloide hiperbólico (sela), um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Dica: Para este item, leve em conta que a matriz:

tem autovalores e .

d) Determine um vetor não nulo de maneira que todo plano ortogonal a corta ao longo de elipses, isto é:

Feito isso, vamos trabalhar com a matriz encontrada, e achar seus autovalores e seus autovetores UNITÁRIOS associados. Como os autovalores já foram dados no enunciado, basta calcularmos os autovetores associados:

Pra , temos:

E resolvendo esse sistema, encontramos que deve ser múltiplo do vetor . Como ele tem que ser unitário, tomamos

Pra , temos:

E resolvendo esse sistema, encontramos que deve ser múltiplo do vetor . Como ele tem que ser unitário, tomamos

Pra , temos:

E resolvendo esse sistema, encontramos que deve ser múltiplo do vetor . Como ele tem que ser unitário, tomamos

Podemos agora construir a matriz ortogonal que carrega esses autovetores encontrados em colunas:

Reescrevendo a equação da quádrica, teremos:

E então:

Logo, a superfície é um hiperboloide de uma folha rotacionado. Sua equação é dada acima nos eixos , que possuem as direções de e , respectivamente.

Resolvendo a letra d)

Repare que como a superfície é dada por: , se interceptarmos essa superfície por planos da forma , sendo uma constante, teremos a expressão da interseção:

E verificamos que a equação encontrada define uma elipse no plano . Elipse essa que tem equação:

Essa é uma elipse com centro na origem do plano e semieixos iguais a e nas direções de e , respectivamente.

Como nós interceptamos com planos da forma , ou seja, planos ortogonais a ao eixo , concluímos que o vetor pedido é ortogonal a esses planos. Ou seja, é paralelo ao eixo !!! Então podemos escolher igual ao vetor que nos deu a direção do eixo no item c),