Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
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Classificação de Pontos Críticos, Diagonalização de Formas Quadráticas no R3
Considere (em todos os itens dessa questão) a função:
E a superfície de nível
a) Classifique os pontos críticos da função determinando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Resolvendo a letra a)
Vamos classificar todos os pontos críticos da função:
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.
Para isso, calcular gradiente:
Para a função em questão, temos:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira, vamos encontrar: . E substituindo esse resultado na terceira equação, concluímos que . Logo, , e então .
Assim, o único ponto crítico é . E pra classificá-lo, os autovalores da matriz Hessiana de avaliada no ponto que queremos classificar. Ou seja, queremos achar .
Passo 5
A matriz Hessiana carrega as derivadas parciais de segunda ordem da função , avaliadas no ponto . Então, como:
A matriz Hessiana será:
E pra achar seus autovalores, construímos o polinômio característico de :
E então, encontramos autovalores iguais a e . E com dois autovalores positivos e um negativo, concluímos que o ponto é um ponto de sela.
Resposta
- Ponto de sela.