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G4 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2018.1

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Seja

D = x , y ∈ R 2 x 2 + 2 y = 4 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

Seja

f x , y = x 2 + y 2 - y

Com x , y ∈ D .

Encontre os valores de máximos e mínimos globais de f em D .

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Dada a curva espacial

α t = t , t - 1 2 + 2 , 1 t   ; t ≠ 0

  1. Sabendo que a curva espacial α está contida em um cilindro S sobre uma curva plana:

    2. a.1. Determine a equação do cilindro S

    a.2. Esboce S ∩ x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 }  

  2. Encontre um tempo t 0 tal que α t 0 = ( 1,2 , 1 ) . Determine um vetor v tangente à S em P = ( 1,2 , 1 ) e ortogonal à α ' ( t 0 ) em P = ( 1,2 , 1 ) .
  3. Escreva a equação cartesiana do plano Π , ortogonal à α no ponto P = ( 1,2 , 1 )
  4. Considere a curva espacial β t = sen ⁡ t + 1,2 cos ⁡ t ,   1 - t   ; t ∈ R

Mostre que α e β são tangentes no ponto P = ( 1,2 , 1 ) , ou seja, mostre que α e β se interceptam em P e tem o mesmo vetor tangente em P . Escreva a equação paramétrica da reta r , tangente à α e β em P .

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Questão 3: Considere a região espacial

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |     z 2 ≤ x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0

Sabendo que o volume de U é

V o l U = 2 π 2 3

Calcule a coordenada z - do centroide de U .

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G2 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2