Seja
Seja
Com .
Encontre os valores de máximos e mínimos globais de em .
Passo 1
Vamos usar Lagrange. Primeiro vamos calcular o gradiente de :
Agora vamos definir:
Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema:
Ou seja, o nosso sistema vai ser:
Passo 2
Da primeira equação, podemos tirar que
Ou
Teremos portanto que avaliar esses dois casos.
Passo 3
Primeiro vamos considerar .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo esse valor de na última equação, podemos encontrar o valor de :
Assim, temos os candidatos:
Passo 4
Vamos agora testar a segunda situação, que é quando .
Substituindo na ultima equação, já podemos direto achar o valor de :
Assim, temos o ponto
Passo 5
Até agora, temos portanto, três candidatos a máximo e mínimo da nossa função.
Mas, não podemos esquecer que estamos buscando o máximo e mínimo de na região , que inclui não só a restrição a partir da qual definimos , mas também
Assim, precisamos também buscar os pontos em quando
Substituindo na ultima equação do nosso sistema, temos
Assim, temos mais dois candidatos:
Passo 6
Agora sim, calculando o valor da função nesses cinco pontos:
Assim, é o valor de mínimo global de em e é o valor de máximo global de em .
Resposta
Mínimo:
Máximo: