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P2 de Cálculo 2 da USP - 2015

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Cálculo 2 - USP

Seja f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 3 .

  1. Calcule ∂ f ∂ x x , y para todo x , y ∈ R 2 .
  2. Verifique se a função ∂ f ∂ x é ou não contínua em 0 ,   0 .

(Justifique todas as passagens.)

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Seja f : R 2 → R ,   f = f x , y uma função de classe C 2 e seja

g u , t = f u 2 - t 2 ,   2 u t .

Calcule as derivadas parciais ∂ g ∂ u ,   ∂ g ∂ t , ∂ 2 g ∂ u 2   e   ∂ 2 g ∂ t 2 em termos das derivadas parciais de f e determine o valor de r > 0 para que a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

seja válida para todo u , t ∈ R 2 com u 2 + t 2 = r 2 .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.

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Seja f : R 2 → R uma função de classe C 1 tal que:

(i) A imagem da curva γ : ] 0 , π 2 [   → R 2 dada por γ t = cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t está contida em uma curva de nível de f .

(ii) A imagem da curva σ :   ] 0 ,   + ∞ [   → R 3 dada por σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 está contida no gráfico de f .

  1. Determine ∇ f 1 ,   2 justificando claramente o que está usando.
  2. Calcule ∂ f ∂ u → 1 ,   2 , onde u → = 1 2 , 3 2 .
  3. Qual é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 ?

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Listas de Exercícios Resolvidos

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