Seja f : R 2 → R ,   f = f x , y uma função de classe C 2 e seja

g u , t = f u 2 - t 2 ,   2 u t .

Calcule as derivadas parciais ∂ g ∂ u ,   ∂ g ∂ t , ∂ 2 g ∂ u 2   e   ∂ 2 g ∂ t 2 em termos das derivadas parciais de f e determine o valor de r > 0 para que a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

seja válida para todo u , t ∈ R 2 com u 2 + t 2 = r 2 .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.

Passo 1

Esse é um típico caso de regra da cadeia com 2 parâmetros:

g = f x , y ,

onde

x = x u , t = u 2 - t 2

y = y u , t = 2 u t

Passo 2

Começando pelas derivadas parciais de primeira ordem:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Temos

x = u 2 - t 2 ⇒ ∂ x ∂ u = 2 u ∂ x ∂ t = - 2 t

y = 2 u t ⇒ ∂ y ∂ u = 2 t ∂ y ∂ t = 2 u

Passo 3

Substituindo, obtemos

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

Passo 4

Agora que vem a parte chata...as derivadas de ordem superior.

Vamos começar calculando ∂ 2 g ∂ u 2 u , t . Pra isso temos que pegar a ∂ g ∂ u e derivar novamente em relação a u . Lembrando que

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

Vamos ter que aplicar a regra do produto...duas vezes...Só de imaginar essa conta já deu preguiça. Mas não desanime marujo! Respira fundo e vem comigo!

Passo 5

Então, pela regra do produto:

∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ f ∂ x + 2 u ∂ 2 f ∂ x 2 2 u + ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 t + 2 t ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2 u + ∂ 2 f ∂ y 2 2 t

As derivadas parciais de f são tomadas em x ,   y = ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) . Então vamos ter

∂ 2 g ∂ u 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Bem feio né?

Passo 6

Agora vamos pra outra! Lembrando que

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

Vamos ter:

∂ 2 g ∂ t 2 = - 2 ∂ f ∂ x - 2 t ∂ 2 f ∂ x 2 - 2 t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 u + 2 u ∂ 2 f ∂ x ∂ y - 2 t + ∂ 2 f ∂ y 2 2 u

Desenvolvendo:

∂ 2 g ∂ t 2 u ,   t = - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 7

Agora vamos pra segunda parte da questão. Temos que verificar a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Somando as duas derivadas bizarras:

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 8

Dá pra cortar algumas coisas e aí sobra:

4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Botando 4 u 2 + t 2 em evidência:

4 u 2 + t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Passo 9

E a gente quer verificar que isso é igual a

48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Ou seja,

4 u 2 + t 2 = 48

u 2 + t 2 = 12

Lembrando que ele forneceu u 2 + t 2 = r 2 , com r > 0 . Logo,

r 2 = 12

⇒ r = 12

Aí está!! Deu um belo de um trabalho essa questão hein.

Resposta

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

∂ 2 g ∂ u 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

∂ 2 g ∂ t 2 u ,   t - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

r = 12

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]