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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Exercício 2012345678910111213141516171819

Enunciado

Seja f : R 2 → R ,   f = f x , y uma função de classe C 2 e seja

g u , t = f u 2 - t 2 ,   2 u t .

Calcule as derivadas parciais ∂ g ∂ u ,   ∂ g ∂ t , ∂ 2 g ∂ u 2   e   ∂ 2 g ∂ t 2 em termos das derivadas parciais de f e determine o valor de r > 0 para que a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

seja válida para todo u , t ∈ R 2 com u 2 + t 2 = r 2 .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.

Passo 1

Esse é um típico caso de regra da cadeia com 2 parâmetros:

g = f x , y ,

onde

x = x u , t = u 2 - t 2

y = y u , t = 2 u t

Passo 2

Começando pelas derivadas parciais de primeira ordem:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Temos

x = u 2 - t 2 ⇒ ∂ x ∂ u = 2 u ∂ x ∂ t = - 2 t

y = 2 u t ⇒ ∂ y ∂ u = 2 t ∂ y ∂ t = 2 u

Passo 3

Substituindo, obtemos

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

Passo 4

Agora que vem a parte chata...as derivadas de ordem superior.

Vamos começar calculando ∂ 2 g ∂ u 2 u , t . Pra isso temos que pegar a ∂ g ∂ u e derivar novamente em relação a u . Lembrando que

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

Vamos ter que aplicar a regra do produto...duas vezes...Só de imaginar essa conta já deu preguiça. Mas não desanime marujo! Respira fundo e vem comigo!

Passo 5

Então, pela regra do produto:

∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ f ∂ x + 2 u ∂ 2 f ∂ x 2 2 u + ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 t + 2 t ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2 u + ∂ 2 f ∂ y 2 2 t

As derivadas parciais de f são tomadas em x ,   y = ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) . Então vamos ter

∂ 2 g ∂ u 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Bem feio né?

Passo 6

Agora vamos pra outra! Lembrando que

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

Vamos ter:

∂ 2 g ∂ t 2 = - 2 ∂ f ∂ x - 2 t ∂ 2 f ∂ x 2 - 2 t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 u + 2 u ∂ 2 f ∂ x ∂ y - 2 t + ∂ 2 f ∂ y 2 2 u

Desenvolvendo:

∂ 2 g ∂ t 2 u ,   t = - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 7

Agora vamos pra segunda parte da questão. Temos que verificar a igualdade

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Somando as duas derivadas bizarras:

∂ 2 g ∂ u 2 u , t + ∂ 2 g ∂ t 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 8

Dá pra cortar algumas coisas e aí sobra:

4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Botando 4 u 2 + t 2 em evidência:

4 u 2 + t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Passo 9

E a gente quer verificar que isso é igual a

48 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + ∂ 2 f ∂ y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Ou seja,

4 u 2 + t 2 = 48

u 2 + t 2 = 12

Lembrando que ele forneceu u 2 + t 2 = r 2 , com r > 0 . Logo,

r 2 = 12

⇒ r = 12

Aí está!! Deu um belo de um trabalho essa questão hein.

Resposta

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x 2 u + ∂ f ∂ y 2 t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 u

∂ 2 g ∂ u 2 u , t = 2 ∂ f ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

∂ 2 g ∂ t 2 u ,   t - 2 ∂ f ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

r = 12

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