P1 de Cálculo 2 da USP - 2022

1) Seja dada por .

a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de em torno de .

b) Use o item anterior para obter uma aproximação, na forma de fração irredutível, de . Mostre também que o erro cometido nesta aproximação é inferior, em módulo, a .

2) considere a função .

a) Esboce, no plano cartesiano abaixo, o domínio de , indicando pontos que não pertençam ao seu domínio com linhas tracejadas. Determine as curvas de nível e de e esboce suas imagens, também no plano abaixo.

b) Decida, justificando, se existe.

3. Seja dada por

a) Decida se é contínua em .

b) Calcule e .

c) A função é diferenciável em ?

4) Seja dado por . Decida se admite plano tangente ao seu gráfico no ponto e, em caso afirmativo, escreva a equação deste plano.