Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica de Cálculo 2 da USP - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente

1.1. Calcule e pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.

a. ; , .

1.1. Calcule e pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.

b. ; , .

1.2. Sejam , diferenciável em , com e . Determine para que a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa seja paralela à reta .

1.5. Sejam , deriváveis até ordem. Mostre que é solução da equação

2.1. Se , ache o vetor gradiente e use-o para achar a reta tangente à curva de nível de no ponto . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

2.2. Seja a reta tangente à curva no ponto . Determine as retas que são tangentes à curva e paralelas à reta .

2.3. Seja uma função diferenciável em . Fixado um certo , sabe-se que o plano tangente ao gráfico de no ponto tem equação . Determine, entre as curvas abaixo, uma que não pode ser a curva de nível de que contém o ponto :

a. ; b. ; c.

2.4. Considere uma função de classe . Suponha que:

(i) a imagem da curva plana , para , esteja contida numa curva de nível de .

(ii) a imagem da curva no espaço , com , esteja contida no gráfico de .

a. Determine

2.9. Ache a derivada direcional máxima de no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a. em ;

b. em .

Seja , com derivadas parciais contínuas em e tal que é o plano tangente ao gráfico de no ponto . Seja

.

Determine para que o plano tangente ao gráfico de no ponto seja paralelo ao vetor .

Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

Mostre que a mudança de coordenadas e permite escrever a equação da onda na forma .

Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

Determine todas as soluções de , concluindo que as soluções da equação original são da forma , onde e são funções reais duas vezes deriváveis.

Seja função de classe em e defina . Verifique que

sendo , por definição dado por .

Seja uma função harmônica no aberto , ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto tais que para todo e satisfaçam e .

Mostre que .

Seja função de classe em . Se , mostre que

e que

.

Seja uma função de classe e seja dada por

Sabendo que é uma equação do plano tangente ao gráfico de no ponto e , calcule .

Seja , onde é uma função de classe em . Determine sabendo que .

Seja uma função harmônica no aberto A, ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto B tais que e satisfaçam e .

b. Mostre que

Mostre que é continua em e em todas as derivadas direcionais em . A função f é diferenciavel em ?

Determine todos os pontos de R2 nos quais a direção de maior variação da função é do vetor .

Seja uma função diferenciavel em tal que , para todo é uma curva de nível de f. Sabendo que , determine a derivada direcional de f no ponto e na direção e sentido do vetor .

Considere uma função de classe . Suponha que:

1. A imagem da curva plana , para t esteja contida numa curva de nível de f,
2. A imagem da curva no espaço com , esteja contida no gráfico de f.

b. Calcule onde

Considere uma função de classe . Suponha que:

1. A imagem da curva plana , para t esteja contida numa curva de nível de f,
2. A imagem da curva no espaço com , esteja contida no gráfico de f.

c. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto .

Sejam uma função diferenciável e , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto . Sabendo que a reta r contém o ponto determine o vetor gradiente de f no ponto e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto

Sejam uma função diferenciável e seja o plano tangente ao gráfico de f no ponto e seja uma parametrização para a curva de nível 1 de . Suponha que para algum . Determine uma equação para o plano sabendo que ele contém os pontos e .

Sabe-se que é diferenciavel em R² e que o gráfico de f contém as imagens de ambas as curvas e . Determine , onde .