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P2 de Cálculo 2 da USP - 2018

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Cálculo 2 - USP

Considere as seguintes afirmações:

  1. Existe uma função diferenciável f ( x , y ) em R 2 tal eu o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 0 ) é z = x + 2 y - 5
  2. Se f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e tal que ∂ f ∂ x 1 , - 3 < 0 e ∂ f ∂ y 1 , - 3 < 0 existem, então ∂ f ∂ u → 1 , - 3 < 0 para todo vetor unitário u → ∈   R 2
  3. Seja f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e considere os vetores unitários u → = 1 2 , 3 2 e v → = - 3 2 , 1 2 . Então para todo x , y ∈ R 2 ,   ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → u → + ∂ f ∂ v → v → .
  4. Existe uma função f ( x , y ) de classe C 2 tal que ∂ f ∂ x = x + 3 e ∂ f ∂ y = 5 x - y
  5. Se f   : R 2 → R tem derivada direcional ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então f é diferenciável em ( 0,0 ) .

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  4. Apenas as afirmações I e V são falsas.
  5. Apenas as afirmações III, IV e V são falsas.

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Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + 2 x 2 + y 2

No ponto ( 1 , - 1,2 ) .

  1. γ t = 3 t , 2 t + 1,2 t
  2. γ t = t , - t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t
  4. γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2
  5. γ t = 3 t + 1,2 t + 1,2 t + 2

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Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + x 2 + 2 y 2

No ponto ( 1,1 , 2 ) .

  1. γ t = 2 t , t + 1,2 t
  2. γ t = t , t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = t + 2,2 t + 1 , - 2 t
  4. γ t = 2 t - 1,3 t - 2 , t 2
  5. γ t = t + 1,3 t + 1,3 t + 3

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Considere uma função f   : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

i ) A imagem da curva plana γ t = sec 2 ⁡ t , tan ⁡ t   ,   t ∈ ]   π / 2 ,   3 π / 2 [     esteja contida numa curva de nível de f

i i ) A imagem da curva no espaço σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0 esteja contida no gráfico de f

Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

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Admita que

T x , y = 16 - 2 x 2 - y 2

Represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização γ ( t ) para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto ( 1,1 ) , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

  1. γ t = e - 4 t , e - 2 t ,   t ≥ 0
  2. γ t = e - 2 t , e - 4 t ,   t ≥ 0
  3. γ t = e 4 t , e 2 t ,   t ≥ 0
  4. γ t = e 2 t , e 4 t ,   t ≥ 0
  5. γ t = 1 + e - 4 t , 1 + e - 2 t ,   t ≥ 0

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Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + 2 x 2 + y 2

No ponto ( 1,1 , 2 ) .

  1. γ t = t , 2 t + 1,2 t
  2. γ t = t , t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t + 1 , t + 2 , - 2 t
  4. γ t = 3 t - 2,2 t - 1,2 t 2
  5. γ t = 3 t + 1 , t + 1,3 t + 3

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Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 , 1 - t 2 = t 3 - t 2 - t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 1,0 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1

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Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G 1 - 2 t 2 , t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 = - t 3 + t 2 + t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( - 1,1 ) :

  1. - 1 , - 1 2
  2. 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , 1 2
  5. - 1 2 , - 1

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e tal que ∂ f ∂ x 1 , - 3 < 0 e ∂ f ∂ y 1 , - 3 < 0 existem, então ∂ f ∂ u → 1 , - 3 < 0 para todo vetor unitário u → ∈   R 2
  2. Existe uma função diferenciável f ( x , y ) em R 2 tal que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 0 ) é z = x + 2 y - 5
  3. Existe uma função f ( x , y ) de classe C 2 tal que ∂ f ∂ x = x + 3 e ∂ f ∂ y = 5 x - y
  4. Seja f ( x , y ) é diferenciável em R 2 e considere os vetores unitários u → = 1 2 , 3 2 e v → = - 3 2 , 1 2 . Então para todo x , y ∈ R 2 ,   ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → u → + ∂ f ∂ v → v → .
  5. Se f   : R 2 → R tem derivada direcional ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então f é diferenciável em ( 0,0 ) .

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  4. Apenas as afirmações I e V são falsas.
  5. Apenas as afirmações III, IV e V são falsas.

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Considere uma função f   : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

i ) A imagem da curva plana γ t = cos sec 2 ⁡ t , co tan ⁡ t   ,   t ∈ ]   0 ,   π [     esteja contida numa curva de nível de f

i i ) A imagem da curva no espaço σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0 esteja contida no gráfico de f

Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

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Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + x 2 + 2 y 2

No ponto ( 1 , - 1,2 ) .

  1. γ t = 2 t + 1,3 t , 2 - 2 t
  2. γ t = t , - t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t
  4. γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2
  5. γ t = 2 t + 1,3 t + 1 , - 3 t - 1

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Admita que

T x , y = 16 - x 2 - 2 y 2

Represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização γ ( t ) para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto ( 1,1 ) , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

  1. γ t = e - 4 t , e - 2 t ,   t ≥ 0
  2. γ t = e - 2 t , e - 4 t ,   t ≥ 0
  3. γ t = e 4 t , e 2 t ,   t ≥ 0
  4. γ t = e 2 t , e 4 t ,   t ≥ 0
  5. γ t = 1 + e - 4 t , 1 + e - 2 t ,   t ≥ 0

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Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

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Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

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Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

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Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 , 1 - 2 t 2 = t 3 - t 2 - t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 1 , - 1 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1

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Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

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Seja

f x , y = x y 2 sin ⁡ x y 2     s e   y ≠ 0 0       s e   y = 0

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ y é contínua em ( 1,0 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 1,0 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) para y ≠ 0 ? Justifique

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Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G 1 - t 2 , t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 = - t 3 + t 2 + t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 0,1 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1

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Seja

f x , y = x 2 y sin ⁡ y x 2     s e   x ≠ 0 0       s e   x = 0

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ x é contínua em ( 0 , 1 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 0 , 1 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) para x ≠ 0 ? Justifique

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Listas de Exercícios Resolvidos

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