Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

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Enunciado

Seja f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 3 .

  1. Calcule ∂ f ∂ x x , y para todo x , y ∈ R 2 .
  2. Verifique se a função ∂ f ∂ x é ou não contínua em 0 ,   0 .

(Justifique todas as passagens.)

Passo 1

a)

Temos que f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 1 3 , logo, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x x , y = 1 3 3 x 4 + 2 y 4 - 2 3   4.3 x 3

⇒ ∂ f ∂ x x , y = 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 - 2 3

Repare que

3 x 4 + 2 y 4 - 2 3 = 1 3 x 4 + 2 y 4 2 3 ,

então essa expressão para ∂ f ∂ x só é válida se

3 x 4 + 2 y 4 ≠ 0

E como x 4 ≥ 0 e y 4 ≥ 0 , isso implica que

x , y ≠ 0 ,   0

Beleza, então a derivada parcial que calculamos é válida em todo o R 2 menos a origem.

Passo 2

Para achar a derivada parcial na origem temos que apelar pra definição:

∂ f ∂ x 0 ,   0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

= lim x → 0 ⁡ 3 x 4 3 - 0 x = lim x → 0 ⁡ 3 3 x 4 3 x

= lim x → 0 ⁡ 3 3 x 1 3 = 0

Ótimo, então

∂ f ∂ x x , y = 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 - 2 3 , x , y ≠ 0 ,   0 0 , x , y = 0 ,   0

Passo 3

b)

Verificar a continuidade de ∂ f ∂ x é verificar a igualdade:

lim x , y → 0,0 ⁡ ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ x 0 ,   0 = 0

Então vamos calcular esse limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ ∂ f ∂ x x , y = lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 - 2 3

= lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 2 3 = lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 2 3

Passo 4

Substituindo x , y = 0 ,   0 , caímos numa indeterminação. Vamos dar uma melhorada nesse limite que do jeito que tá fica difícil de trabalhar.

A primeira coisa é juntar tudo numa raiz cúbica só. Quer dizer, o 4 podemos deixar de lado:

4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 2 3 = 4 x 9 3 x 4 + 2 y 4 2 3

Passo 5

Hm, mas ainda temos um termo ao quadrado no denominador. Vamos fazer o seguinte:

x 9 = x 8 . x = x 4 2 x

⇒ 4 x 9 3 x 4 + 2 y 4 2 3 = 4 x 4 3 x 4 + 2 y 4 2 x 3

Opa, isso tá bem promissor! Saca:

0 ≤ x 4 ≤ 3 x 4 + 2 y 4

0 3 x 4 + 2 y 4 ≤ x 4 3 x 4 + 2 y 4 ≤ 3 x 4 + 2 y 4 3 x 4 + 2 y 4

0 ≤ x 4 3 x 4 + 2 y 4 ≤ 1

0 ≤ x 4 3 x 4 + 2 y 4 2 ≤ 1

Passo 6

Agora é só partir pro abraço! O termo x 4 3 x 4 + 2 y 4 2 é limitado então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 3 x 4 + 2 y 4 2 x = 0

⇒ lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 4 3 x 4 + 2 y 4 2 x 3 = 0 = ∂ f ∂ x 0 ,   0

⇒ lim x , y → 0,0 ⁡ ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ x 0 ,   0

Logo, ∂ f ∂ x é contínua em 0 ,   0 .

Resposta

a)

∂ f ∂ x x , y = 4 x 3 3 x 4 + 2 y 4 - 2 3 , x , y ≠ 0 ,   0 0 , x , y = 0 ,   0

b)

∂ f ∂ x é contínua em 0 ,   0 .

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