Seja .
- Calcule para todo .
- Verifique se a função é ou não contínua em .
(Justifique todas as passagens.)
Passo 1
a)
Temos que , logo, usando a regra da cadeia:
Repare que
então essa expressão para só é válida se
E como e , isso implica que
Beleza, então a derivada parcial que calculamos é válida em todo o menos a origem.
Passo 2
Para achar a derivada parcial na origem temos que apelar pra definição:
Ótimo, então
Passo 3
b)
Verificar a continuidade de é verificar a igualdade:
Então vamos calcular esse limite:
Passo 4
Substituindo , caímos numa indeterminação. Vamos dar uma melhorada nesse limite que do jeito que tá fica difícil de trabalhar.
A primeira coisa é juntar tudo numa raiz cúbica só. Quer dizer, o podemos deixar de lado:
Passo 5
Hm, mas ainda temos um termo ao quadrado no denominador. Vamos fazer o seguinte:
Opa, isso tá bem promissor! Saca:
Passo 6
Agora é só partir pro abraço! O termo é limitado então, pelo teorema do anulamento:
Logo, é contínua em .
Resposta
a)
b)
é contínua em .