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P3 de Cálculo 2 da USP - 2014

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Cálculo 2 - USP

Seja S a superfície dada pela equação x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 = 0 .

a) Existe apenas um ponto A na superfície S tal que a reta normal a S em A contém os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0 . Determine o ponto A .

b) Sejam f : R 2 → R e γ : I ⊂ R → R 3 diferenciáveis com ∇ f - 2 , - 1 = b , 1 . Suponha que a imagem de γ é a interseção do gráfico de f com a superfície S , dada no item ( a ) , e que o ponto P = ( - 2 , - 1 , - 2 ) pertente à imagem de γ .

Determine b de modo que os planos tangente ao gráfico de f e à S sejam ortogonais no ponto P e dê uma equação da reta tangente à I m γ no ponto P .

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Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 3 + y 3 - 12 x - 3 y

  1. Determine e classifique os pontos críticos.
  2. Determine , caso existam, os pontos de máximo e de mínimo de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 3   e   0 ≤ y ≤ x

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Seja f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

  1. Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera

    2. S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1

  2. Determine os pontos de mínimo e de máximo de f no conjunto

D = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1

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Listas de Exercícios Resolvidos

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