Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Interseção de Superfícies,
Seja a superfície dada pela equação .
a) Existe apenas um ponto na superfície tal que a reta normal a em contém os pontos e . Determine o ponto .
b) Sejam e diferenciáveis com . Suponha que a imagem de é a interseção do gráfico de com a superfície , dada no item , e que o ponto pertente à imagem de .
Determine de modo que os planos tangente ao gráfico de e à sejam ortogonais no ponto e dê uma equação da reta tangente à no ponto .
Passo 1
a)
A questão nos deu uma superfície e dois pontos no espaço. Mas a parte boa é que esses dois pontos estão contidos na reta normal que passa pelo ponto (e queremos descobrir qual é esse ponto).
Bom, dito isso, podemos concluir que o vetor gradiente no ponto é múltiplo do vetor formado pelos dois pontos dados no enunciado. Isso porque se tanto um quanto outro estão sobre a mesma reta, que é a reta normal em ! Que tal começarmos encontrando o vetor formado pelos pontos e ?
Para isso, basta subtrair um do outro:
Sim, é apenas isso!
Passo 2
Agora que já temos um dos vetores, vamos calcular o vetor gradiente no ponto .
Sabemos que o vetor gradiente é dado por:
Sendo , então:
E o nosso vetor gradiente é
Para o ponto , temos que
Tudo bem até aí?
Passo 3
Beleza, vamos continuar!
Como concluímos, o vetor gradiente é múltiplo do vetor . Então, podemos dizer que o vetor gradiente é o vetor multiplicado por uma constante:
Ou seja...
Se igualarmos as coordenadas de cada vetor, vamos chegar em:
E isolando as coordenadas do nosso ponto , teremos:
Passo 4
Bom, agora que temos os valores de em função de , fica muito simples! Só precisamos colocar esse valores na nossa equação da superfície. Com isso, encontraremos os possíveis valores para . Se a superfície é dada por:
Colocando que , teremos:
Pronto! Encontramos os valores de !
Passo 5
Agora temos que substituir os valores encontrados de na equação do vetor gradiente com o vetor . Fica, para :
Assim,
E temos, então o ponto sendo:
E como a reta é dada por
Sua equação fica sendo:
Sendo o vetor , que deve ser perpendicular à superfície. E veja que essa reta realmente é a do nosso problema, porque contém os pontos quando colocamos , e para .
Passo 6
Agora devemos verificar a outra possível parametrização da reta, com (que não deve conter os pontos dados do enunciado). Com esse valor, teremos:
Assim,
E temos, então o ponto sendo:
E como a reta é dada por
Sua equação fica:
Mas veja agora, que, qualquer que seja o valor do parâmetro , não conseguimos fazer a reta conter os pontos e ! Isso confirma o que o enunciado diz, que apenas em um ponto da superfície, a reta normal contém os pontos e .
Passo 7
b)
Relaxa, esse letra é beeem mais fácil do que parece! O enunciado é uma parada gigante e complicada, mas vamos tentar destrinchar em pacotes menores e entender qual caminho devemos tomar :)
Primeiro, vamos separar o que temos:
- Uma função , que tem como vetor gradiente
- Uma curva , que é a interseção se e a superfícies da letra
- Um ponto que está na curva
E temos duas coisas a fazer: determinar o valor de para que o plano tangente à superfície e o plano tangente à sejam perpendiculares em ; e determinar uma parametrização para a reta tangente a no ponto .
Passo 8
Dito isso, vamos dar mais uma filosofada? Desculpa se ficar chato, mas não tem outro jeito! Vou tentar ser o mais simples que der ;) Vamos lá:
Nada sabemos sobre a função , além do que ela é uma função de duas variáveis e que seu gradiente é o que o enunciado deu. O ponto importante é que, se escrevermos:
E chamarmos a expressão de , teremos uma “nova função” de 3 variáveis. E, como o gradiente de é , podemos dizer que o gradiente da será , sendo que a última coordenada é a derivada parcial de em relação a , sacou?
Ok, e tudo isso pra quê? Porque se os planos tangentes a cada superfície são perpendiculares no ponto , então os vetores normais a cada uma das superfícies, nesse mesmo ponto , também são perpendiculares entre si! E esses vetores que são normais às superfícies no ponto , são os vetores gradientes! E como eles são perpendiculares, podemos dizer que o produto escalar entre eles é :
Como o gradiente de só depende de , vamos deixá-lo mesmo. Mas agora temos que calcular o vetor gradiente de em .
Passo 9
Sabemos da letra que , então, quando teremos:
Passo 10
Agora podemos resolver a equação
E aí está! Acabamos de encontrar o valor de a partir de um tosco produto escalar!
Passo 11
Beleza, agora vamos parametrizar a reta tangente a no ponto . Bom, como é a interseção de duas superfícies, e , podemos afirmar que sua reta tangente é perpendicular tanto ao vetor gradiente de uma superfície como de outra. Por que? Porque veja, está tanto em uma superfície como na outra. Sua reta tangente, também é tangente tanto a uma superfície como a outra. E qualquer coisa tangente à uma superfície é perpendicular ao seu vetor gradiente!
Portanto, podemos fazer que o produto vetorial (que retorna um vetor perpendicular aos outros ) entre os vetores gradientes de e nos dá o vetor diretor da reta tangente à no ponto pedido. Vamos fazer então esse produto vetorial, agora que já temos o !
Passo 12
Beleza, agora que encontramos o vetor diretor, basta multiplicá-lo por um parâmetro e somarmos o ponto ! A equação da reta fica:
Resposta
- , para que a reta contenha os pontos e
- e a reta é