G4 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2014.2

Considere o campo vetorial

1. Sem calcular funções potenciais, justifique se é, ou nao, um campo conservativo.
2. Se for conservativo, encontre a família de funções potenciais.

(o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)

3. Calcule

Onde é a curva parametrizada por .

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se é uma função de classe no plano que satisfaz a equação

Então as suas derivadas parciais satisfazem a equação

OBS:

Essa questão tem um pequeno erro, a derivada de na prova que achamos está mas durante a resolução percebemos que na verdade ela deveria ser como está escrito, caso contrário não daria certo.

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se denota o conjunto de pontos do espaço que satisfazem a equação

Então pertence a e os pontos de perto de podem-se escrever na forma , onde é uma função de classe e

Seja .

1. Seja , onde é a superfície do paraboloide limitado pelo plano , com vetores normais apontando para fora. Mostre que , usando:

b2) o Teorema de Stokes, calculando uma integral de linha.

Seja .

1. Calcule .
2. Seja , onde é a superfície do paraboloide limitado pelo plano , com vetores normais apontando para fora. Mostre que , usando:

b1) o Teorema de Gauss.