Seja .

1. Calcule .
2. Seja , onde é a superfície do paraboloide limitado pelo plano , com vetores normais apontando para fora. Mostre que , usando:

b1) o Teorema de Gauss.

Letra b)

Agora, precisamos mostrar que:

Onde é o paraboloide cortado pelo plano .

Letra b1)

Aplicando o Teorema de Gauss, podemos trocar uma integral em uma superfície fechada por uma integral tripla no volume limitado por essa superfície.

Porém, não é fechada. A superfície do problema é o paraboloide cortado, que é aberto!

Logo, precisamos fechar essa superfície antes de aplicar o teorema.Vamos fechar com o próprio disco plano que corta o paraboloide, para simplificar as coisas.

Então, sendo as superfícies orientadas positivamente (normais apontam para fora), temos:

Sendo :

Onde é o paraboloide cortado, é o disco plano que “fecha” a superfície e é o volume limitado por e . Foi?

Agora vamos calcular esse divergente aí:

O que nos dá:

Precisamos, então, da integral em .

Para encontrar a equação desse disco , vamos fazer na equação do paraboloide:

Portanto, se trata de um círculo de raio em . Vamos, então, usar coordenadas polares, ok?

Onde e .

Agora, vamos achar a normal a essa superfície:

Como a normal aponta para fora de e, para o disco, isso significa , sabemos que encontramos o vetor certo.

Agora vamos trazer tudo o que achamos para a fórmula:

Onde:

Nem escrevemos as duas primeiras componentes do rotacional porque elas vão cancelar quando for feito o produto escalar com a normal!

Resolvendo isso aí:

Calma que ainda não acabou! Lembra que

Agora sim!