Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Exercício 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

Enunciado

Regra da Cadeia

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se é uma função de classe no plano que satisfaz a equação

Então as suas derivadas parciais satisfazem a equação

OBS:

Essa questão tem um pequeno erro, a derivada de na prova que achamos está mas durante a resolução percebemos que na verdade ela deveria ser como está escrito, caso contrário não daria certo.

Passo 1

Para verificarmos se essa parada é verdadeira vamos tentar achar essas duas derivadas que ele deu na equação.

Mas só temos aquela relação

Aqui não temos a função de bem definida né? Mas repara que a segunda na verdade é uma função composta

Onde

Então vamos ter

Derivando isso em relação a vamos ter

Eu derivei em relação a porque temos a derivada em relação a ali em cima em , depois pensamos em achar a derivada em relação a ok?

Para aquela derivada da função composta vamos usar a regra da cadeia

Vamos ter

E

Então

Vamos ter

E por acaso isso é exatamente o que queríamos provar. Então essa afirmação é verdadeira

Resposta

Verdadeiro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +

Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t

Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t

Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .