Teorema da função implícita
Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se denota o conjunto de pontos do espaço que satisfazem a equação
Então pertence a e os pontos de perto de podem-se escrever na forma , onde é uma função de classe e
Passo 1
Lendo o enunciado todo, repara que ele faz afirmações,
- Que pertence a
- Que podemos escrever em função de
- Que a derivada de em relação a em é
Vamos fazer cada uma dessas afirmações de cada vez
1)
Primeiro vamos verificar se aquele ponto está em
Como aquela conta deu e a na superfície temos que essa conta toda da esse ponto está em
Passo 2
2)
Agora ele quer saber se se pode ser escrito em função de , aqui temos que usar o teorema da função implícita a primeira coisa que temos que fazer é achar e que vimos na teoria de teorema da função implícita.
O são as variáveis que você está em função, enquanto o vai ser a função. Assim vamos ter
E
Além disso vamos ter
E pela definição já vimos que
Passo 3
Para ver se podemos definir implicitamente devemos fazer e ver se o determinante é diferente de
Vamos fazer isso no ponto que ele disse, que é
Como
O determinante dessa matriz é diferente de e pelo teorema da função implícita teremos em função de e em torno desse ponto
Passo 4
3)
Essa afirmação só seria válida se a função pudesse ser escrita implicitamente, isso não quer dizer que ela é verdadeira, isso quer dizer apenas que existe a possibilidade, precisamos calcular essa derivada primeiro.
O teorema da função implícita diz que
Lembrando que, neste caso
Então precisamos achar aquele , primeiro vamos fazer no ponto que ele pediu
Assim vamos ter
Precisamos disso no ponto que ele deu
Passo 5
Vamos agora para , primeiro repara que
Então
Isso nos diz que
E
Esse segundo é a afirmação que ele fez, então tudo que ele disse é verdadeiro.
Resposta
Verdadeiro