Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

P2 de Cálculo 3 da USP - 2020

Ver tudo sobre
Cálculo 3 - USP

Seja o campo vetorial F → x , y , z = - y , x , 0 x 2 + y 2 + z 2 2 , com domínio R 3 \ 0,0 , 0 . Analise as seguintes afirmações:

  1. ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 , para S esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , com a > 0 , qualquer que seja a orientação de S .
  2. ∬ S R o t F → ⋅ N → d S = 0 , para toda S superfície parametrizada orientável contida no domínio de F → , qualquer que seja a orientação de S .
  3. ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 , para S cilindro x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ b , com a , b > 0 , qualquer que seja a orientação de S .

É correto afirmar que

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  2. Todas as afirmações são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação I é verdadeira.
  5. Apenas a afirmação III é verdadeira.

Ver solução completa

Seja F → x , y , z um campo de vetores de classe C 2 em R 3 , que não é identicamente nulo. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se F → é conservativo em R 3 , então R o t F → ≡ 0 → em R 3 .
  2. d i v r o t   F → ≡ 0 em R 3 .
  3. Se F → representa um campo de velocidades de um fluido em R 3 e d i v   F → ≡ 0 , então o volume de regiões limitadas com fronteira de conteúdo nulo é preservado pelo escoamento.
  4. Existe uma superfície com bordo S em R 3 , orientada por uma normal n → , tal que o fluxo de F → através de S na direção n → é não-nulo.

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

  1. Apenas 3 afirmações são corretas.
  2. Nenhuma afirmação é correta.
  3. Apenas 2 afirmações são corretas.
  4. Todas as afirmações são corretas.
  5. Apenas 1 afirmação é correta.

Ver solução completa

Seja V → um campo vetorial de classe C 1 em R 3 e S a superfície que delimita um paralelepípedo retangular cheio E , orientada pela normal unitária exterior n → . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para algum campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então existe um campo escalar φ tal que ∇ φ é diferenciável, V → = ∇ φ e d i v ∇ φ = 0 em todo E.
  2. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para um campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então a integral de superfície ∬ S R o t U → ⋅ n → d S = 1 .
  3. Se V → fosse o campo V → x , y , z = x , y , z então o volume de E seria igual a 1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S .

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
  3. Todas as afirmações são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
  5. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Ver solução completa

Seja F → : Ω → R 3 o campo de vetores dado por

F → x , y , z = 1 x 2 + y 2 3 2 x i → + y j → + z 2 + x 2 k → , ∀ x , y , z ∈ Ω = R 3 \ e i x o   z .

Considere as seguintes afirmações:

  1. O divergente de F → não é identicamente nulo em Ω .
  2. ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , para toda curva fechada, simples e C 1 por partes γ : a , b → Ω , cuja imagem está contida no plano z = 3 .
  3. O fluxo do rotacional de F → é nulo para toda superfície fechada S ⊂ Ω .
  4. Existe uma curva fechada, simples e C 1 por partes γ : a , b → Ω tal que ∫ γ F → ⋅ d r → ≠ 0 .

Escolha uma:

  1. Nenhuma afirmação é correta.
  2. Apenas 1 afirmação é correta.
  3. Todas as afirmações são corretas.
  4. Apenas 3 afirmações são corretas.
  5. Apenas 2 afirmações são corretas.

Ver solução completa

Sejam F → x , y , z = x 2 z i → + y + g z j → + - x z 2 + f x k → , de classe C 2 em R 3 e γ , uma curva fechada, simples e lisa em R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se γ está contida no plano z = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , quaisquer que sejam f x e g x .
  2. Se g z é constante e γ está contida no plano x + z = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , qualquer que seja f x .
  3. Se f x = x e γ está contida no cilindro x 2 + z 2 = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , qualquer que seja g z .

Assinale a alternativa verdadeira.

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações I e III são corretas.
  2. Todas as afirmações são falsas.
  3. Apenas as afirmações I e II são corretas.
  4. Apenas as afirmações II e III são corretas.
  5. Todas as afirmações são corretas.

Ver solução completa

Seja F → x , y , z = sin ⁡ x 2 i → + e y 2 + x j → + ln ⁡ 1 + z 2 k → , ∀ x , y , z ∈ R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada C 1 por partes γ : a , b → R 3 .
  2. O fluxo do rotacional de F → sobre uma superfície orientada S é nulo.
  3. Existem pontos de R 3 onde o divergente de F → se anula.
  4. O fluxo de F → através da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 , orientada pela normal n → satisfazendo n → ⋅ k → > 0 , é nulo.

Escolha uma:

  1. Todas as afirmações são corretas.
  2. Apenas 3 afirmações são corretas.
  3. Apenas 2 afirmações são corretas.
  4. Apenas 1 afirmação é correta.
  5. Nenhuma afirmação é correta.

Ver solução completa

Seja F → o seguinte campo de vetores

F → x , y , z = x i → + z j → + y k → , ∀ x , y , z ∈ R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ F → ⋅ d r → = 2 , em que γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t , t ∈ 0 , π .
  2. ∭ B d i v   F → d x d y d z = 4 π 3 , em que B = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , y ≥ 0 .
  3. ∬ S R o t F → ⋅ n → d S = 0 , em que S = x 2 + y 2 + z 2 = 2 , z ≥ 0 , e n → é a normal a S satisfazendo n → ⋅ k → < 0 .
  4. ∬ S F → ⋅ n → d S = 0 , em que S = x 2 + y 2 + z 2 = 3 , x ≤ 0 , e n → é a normal a S satisfazendo n → ⋅ i → < 0 .

Escolha uma:

  1. Apenas 3 afirmações são corretas.
  2. Apenas 2 afirmações são corretas.
  3. Nenhuma afirmação é correta.
  4. Apenas 1 afirmação é correta.
  5. Todas as afirmações são corretas

Ver solução completa

Sejam F → um campo de vetores de classe C 2 em R 3 e S o elipsoide x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = ρ 2 , orientado por normal externa N → .

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se ρ > 0 , então ∬ S r o t → F → ⋅ N → d S = 0 .
  2. Se F → é um campo gradiente, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .
  3. Se o rotacional r o t → F → é identicamente nulo, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .

Assinale a alternativa verdadeira.

Escolha uma:

  1. Apenas a afirmação III é correta.
  2. Apenas as afirmações II e III são corretas.
  3. Apenas a afirmação I é correta.
  4. Apenas a afirmação II é correta.
  5. Apenas as afirmações I e II são corretas.

Ver solução completa

Seja A = ∬ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 , com a , b , c > 0 ,

Analise as seguintes afirmações:

  1. A = 4 π a b c , para S qualquer esfera x 2 + y 2 + z - p 2 , com p ∈ R e p ≠ 1 e orientada com normal exterior.
  2. A = 4 π a b c , para S qualquer cubo - p , p × - p , p × - p , p , com p ∈ R , com p > 0 e orientado com normal exterior.
  3. A = 0 , para S qualquer cilindro a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 , - p ≤ z ≤ p , com p ∈ R , p > 0 , orientado com normal exterior.

É correto afirmar que

Escolha uma:

  1. Apenas a afirmação I é verdadeira.
  2. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação II é verdadeira.
  5. Todas as afirmações são falsas.

Ver solução completa

Sejam X → : R 3 → R 3 um campo vetorial de classe C 1 e p ∈ R 3 . Considere as seguintes afirmações, nas quais S p , r denota a esfera de centro p e raio r orientada pela normal exterior n → , e B p , r a bola fechada de centro p e raio r .

(I) Se d i v   X → p = 0 , existe r > 0 tal que ∬ S X → ⋅ n → d σ = 0 .

(II) Se d i v   X → p > 0 , existe r > 0 tal que ∬ S X → ⋅ n → d σ > 0 .

(III) Se d i v   X → p > 0 , para todo r > 0 , tem-se ∬ S X → ⋅ n → d σ > 0 .

São verdadeiras, apenas: (Escolha uma)

a) Nenhuma

b) Todas

c) II e III

d) I

e) II

Ver solução completa

Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2018Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1P3 - 2016P3 - 2018Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1Lista 1 - 2023.1Lista de Exercícios - USP - Lista - Revisão de IntegraisP2 - 2022P3 - 2019Lista de Exercícios - USP - Lista - Integrais Duplas e Teorema de Fubini