Calculo 3 – USP – P2
Seja um campo vetorial de classe em e a superfície que delimita um paralelepípedo retangular cheio , orientada pela normal unitária exterior . Considere as seguintes afirmações:
- Se e para algum campo vetorial de classe em todo , então existe um campo escalar tal que é diferenciável, e em todo E.
- Se e para um campo vetorial de classe em todo , então a integral de superfície .
- Se fosse o campo então o volume de seria igual a .
Podemos afirmar que:
Escolha uma:
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
- Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
- Todas as afirmações são verdadeiras.
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
Essa primeira informação trás tanta informação que temos que começar a digerir com muito cuidado. Primeiro, temos que . Como o rotacional do campo é o vetor nulo, podemos afirmar que este campo é conservativo.
Por definição, sabemos que um campo vetorial é conservativo quando existe um campo escalar (vamos chamar aqui de , bem conveniente né) tal que . Em especial, dizemos que o campo escalar é a função potencial para .
Estão começando a perceber a relação aqui? Já provamos a primeira parte da questão, que é dizer que existe um campo escalar tal que é diferenciável e .
Agora vamos para a segunda parte, provar que . Para isto, vejamos que:
Vamos responder a relação acima verificando o divergente do rotacional de . Como este campo vetorial é de classe , portanto, possui derivadas parciais de segunda ordem contínua, temos um Teorema que afirma que
Como consequência do Teorema de Clairaut (tanto faz a ordem das derivadas parciais).
Portanto, a afirmação I realmente é verdadeira!
Passo 2
Agora vamos para a afirmação II agora. Precisamos analisar agora a seguinte integral:
Sendo a superfície orientada positivamente que delimita o sólido .
Como o campo vetorial possui derivadas parciais contínuas (classe ), e a nossa superfície é orientada positivamente e delimita uma região sólida, podemos utilizar o Teorema do divergente.
Este teorema nos diz que:
Como no final do Passo 1 checamos que , então, nossa integral tripla se transforma em:
Então, a afirmação II é falsa!
Passo 3
Por fim, temos a afirmação III. Ela nos pede para verificar se, dado , então o volume de seria igual a se
A sacada aqui é utilizar novamente o Teorema da divergência. Percebam que o campo vetorial satisfaz os critérios de derivadas parciais contínuas para aplicarmos este Teorema (a superfície e o espaço foram discutidos no Passo 2).
Portanto, podemos aplicar este Teorema. Sendo assim, vamos começar calcular o divergente em si. Logo,
Aplicando então o nosso Teorema, teremos a seguinte integral:
Portanto, como temos a integral tripla da unidade, a integral do campo acima realmente é igual ao volume do sólido ! Com isto, concluímos que a afirmação III é verdadeira.
E por fim, apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra b)!
Resposta
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra b).