Calculo 3 – USP – P2
Sejam um campo de vetores de classe em e o elipsoide , orientado por normal externa .
Considere as seguintes afirmações:
- Se , então .
- Se é um campo gradiente, então .
- Se o rotacional é identicamente nulo, então .
Assinale a alternativa verdadeira.
Escolha uma:
- Apenas a afirmação III é correta.
- Apenas as afirmações II e III são corretas.
- Apenas a afirmação I é correta.
- Apenas a afirmação II é correta.
- Apenas as afirmações I e II são corretas.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
A nossa primeira afirmação nos diz que, se , então .
Bom, para resolvermos esta questão, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência. Seja uma região sólida simples formada pelo elipsoide (por isso que ele garante que ), com superfície orientada positivamente (vetor normal para fora), temos:
Só que, como o campo vetorial é de classe , e possui derivadas parciais continuas de segunda ordem contínuas, existe um Teorema que garante que:
Portanto, se substituirmos isso na nossa integral tripla, temos:
E assim provamos a afirmação I!
Passo 2
Vamos resolver a afirmação II agora. Ele nos diz que, se é um campo gradiente, então .
Vamos começar interpretando o que a questão nos afirma sobre o campo vetorial Bom, dizer que é um campo gradiente, significa dizer que existe um campo escalar tal que .
Portanto, podemos dizer que existe uma função potencial para . Automaticamente, podemos afirmar que o campo vetorial é um campo conservativo!
Visto tudo isto, será se podemos afirmar que:
Será??? Bom, a verdade é que não podemos garantir nada disto. Para que possamos garantir sem conhecer mais informações sobre o campo , precisaríamos garantir o campo era identicamente nulo em toda superfície, o que não é verdade.
Portanto, não podemos garantir a afirmação II, e por causa disto ela é falsa!
Passo 3
Por fim, temos a afirmação III, que nos diz que, se o rotacional é identicamente nulo, então .
Bom, esta terceira afirmação é um conjunto do que dissemos na afirmação I e II. Se o rotacional é identicamente nulo, sabemos que o campo é conservativo.
Só que esta informação não garante nada que para que possamos afirmar que o fluxo do campo em relação à superfície do elipsoide é igual a zero. Portanto, esta afirmação também é falsa!
Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra (c).
Resposta
Apenas 1 afirmação é correta (letra c).