Calculo 3 – USP – P2
Seja o campo de vetores dado por
.
Considere as seguintes afirmações:
- O divergente de não é identicamente nulo em .
- , para toda curva fechada, simples e por partes , cuja imagem está contida no plano .
- O fluxo do rotacional de é nulo para toda superfície fechada .
- Existe uma curva fechada, simples e por partes tal que .
Escolha uma:
- Nenhuma afirmação é correta.
- Apenas 1 afirmação é correta.
- Todas as afirmações são corretas.
- Apenas 3 afirmações são corretas.
- Apenas 2 afirmações são corretas.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
Essa primeira informação trás tanta informação diz que o divergente de não é identicamente nulo em . Isso significa dizer que existe algum ponto de em que o divergente é diferente de zero.
E agora? O que devemos fazer para confirmar a afirmação? Simples. Temos que calcular o divergente propriamente dito. Sendo assim, temos:
Como o divergente acima não é igual a zero para todos os pontos de (basta verificar com o ponto , por exemplo), a afirmação I é verdadeira!
Passo 2
Agora vamos para a afirmação II agora. Para isto, temos que verificar se , para toda curva fechada, simples e por partes , cuja imagem está contida no plano .
Para verificarmos esta relação, vamos ter de utilizar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Antes de começarmos a analisar em si a afirmação acima, vamos calcular o rotacional de , visto que a gente precisa dele! Portanto,
Pronto, agora que a gente identificou o rotacional, vamos identificar o vetor normal da superfície , a qual contém a curva fechada .
Como a nossa superfície é o plano , então, o seu vetor normal é: (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam , e na equação do plano).
Se substituirmos este valor na nossa integral de superfície e calcularmos o produto interno (não se preocupem com os limites de integração, vejam a magia acontecer), teremos:
E assim verificamos que a integral de linha é igual a zero para todas as curvas ! Logo, a afirmação II é verdadeira!
Passo 3
Agora vamos resolver a afirmação III. Ela nos diz que o fluxo do rotacional de é nulo para toda superfície fechada .
Primeiro, vamos começar escrevendo a integral que corresponde a esse fluxo. Ela é:
O bom é que já calculamos o rotacional no Passo II. Agora, só nos resta trabalharmos coma superfície e com a integral acima.
Uma superfície fechada consiste na fronteira de um sólido . Se deixarmos a orientação desta superfície (vocês perceberam que ela não irá influenciar no nosso resultado), e utilizarmos o Teorema da divergência, pois possui derivadas parciais contínuas, temos:
Ao calcularmos o divergente do rotacional, teremos:
Portanto, o fluxo do rotacional será:
E assim temos que o fluxo do rotacional é nulo para toda superfície , comprovando a primeira afirmação!
Passo 4
Para finalizarmos, vamos para a afirmação IV. Ela diz que existe uma curva fechada, simples tal que .
Para verificarmos esta relação, vamos ter de utilizar novamente o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Que, de uma certa forma, já calculamos nos Passos anteriores (pelo menos o rotacional). Então, temos:
Como o rotacional é diferente do vetor nulo, teremos alguma curva contida em uma superfície com vetor normal que faça o produto interno acima ser diferente de zero. E com isto, finalizamos a nossa questão provando a afirmação IV!
Logo, todas as afirmações são corretas (letra c).
Resposta
Todas as afirmações são corretas (letra c).