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Lista de Exercícios - USP de Cálculo 3 da USP - Lista 2 - 2022.1

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Cálculo 3 - USP

Calcule a integral de linha

∫ γ x d s     c o m   γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

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Calcule a integral de linha

∫ γ x y 4 d s     c o m   γ   s e n d o   x 2 + y 2 = 16 ,   x ≥ 0

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Calcule a integral de linha

∫ γ ( x - 2 y 2 ) d y     c o m   γ   s e n d o   y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 1

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Calcule a integral de linha

∫ γ x y d x   +   ( x - y ) d y   s e n d o   γ   s e g m e n t o s   d e   r e t a   d e   ( 0 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 )   e   d e   ( 2 ,   0 )   a   ( 3 ,   2 ) .

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Calcule a integral de linha

∫ γ x y z d s     c o m   γ ( t ) = ( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) ) ,   0 �� t ≤ π / 2

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Calcule a integral de linha

∫ γ x y 2 z d s     c o m   γ ( t ) o   s e g m e n t o   d e   r e t a   e n t r e   ( 1,0 , 1 ) ,   ( 0,3 , 6 )

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Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( a ( t - s i n ( t ) ) , a ( 1 - c o s ( t ) ) ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π   e   a > 0

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Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t c o s ( t ) ,   t s i n ( t ) , t ) ,   0 ≤ t ≤ 2

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Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t ,   3 t 2 / 2,3 t 2 / 2 ) ,   0 ≤ t ��� 2

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(a) Determine a massa de um arame cujo formato é o da curva

γ ( t )   =   ( 2 t ,   t 2 ,   t 2 ) ,   o n d e   0   ≤   t   ≤   1 ,

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   =   x .

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Determine a massa e o centro de massa de um arame cujo formato é o da curva

x 2   +   y 2   =   4 ,   x   ≥   0 .

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 .

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Determine a massa e o centro de massa de um arame cujo formato é o da curva

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   = k ;   k ∈ R .

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Determine O momento de inércia do fio abaixo

γ ( t ) = ( 2 c o s ( t ) ,   2 s i n ( t ) ,   3 t ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e a densidade de massa em cada ponto é δ ( x ,   y ,   z )   =   k .

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Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   = ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )

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Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   = ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t )   é   o s   s e g m e n t o s   d e   r e t a   ( 0,0 , 0 )   a   ( 1,0 , 0 )   ;   ( 1,0 , 0 )   a   ( 1,1 , 0 )   e   ( 1,1 , 0 )   a   ( 1,1 , 1 )

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Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = y î   + ( x 2 + y 2 ) j ^   e γ arco de circunferência

γ ( x )   =   ( x ,   4   −   x 2 ) ,   l i g a n d o   ( − 2 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 ) .

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Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = 2 ( x + y ) î   + ( x - y ) j ^   e γ é a elipse de equação,

x 2 / a 2   + y 2 / b 2   =   1

percorrida uma vez em sentido anti horário.

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Calcule ∫ γ x ³ y ² z d z onde

γ ( t ) = ( 2 t , t ² , t ² )   ;   0 ≤ t ≤ 1

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Calcule ∫ γ z ² d x - z d y + 2 y d z onde

γ consiste dos segmentos de retas ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   d e   ( 0 ,   1 ,   1 )   a   ( 1 ,   2 ,   3 )   e   d e   ( 1 ,   2 ,   3 ) a   ( 1 ,   2 ,   4 ) .

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , onde γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , onde γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

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  1. Seja D uma região limitada de R 2 com D e ∂ D satisfazendo as hipóteses do Teorema de Green. Mostre que a área de D é

    2. Á r e a   D = ∮ ∂ D x d y = ∮ ∂ D - y d x

  2. Usando (a) calcule a área de

  i   D = x , y ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ;  

( i i ) D = x , y ∈ R 2 : x 2 / 3 + y 2 / 3 ≤ a 2 / 3

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Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que

    2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

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Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que

    2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

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Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que

    2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

    3. A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

  3. Determine a área do pentágono de vértices 0,0 ,   2,1 ,   1,3 ,   0,2 e   ( - 1,1 ) .

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Calcule

  1. ∫ γ x 2 5 y d x + 7 x d y + e y d y ,   s e n d o   γ a elipse 16 x 2 + 25 y 2 = 100 , percorrida de 0 , - 2 )   a   ( 0,2 ) com x ≥ 0 .
  2. ∫ γ 2 x e y - x 2 y - y 3 3 d x + x 2 e y + sin ⁡ y d y , sendo γ a circunferência x 2 + y 2 - 2 x = 0 , percorrida de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) com y ≥ 0 .
  3. ∫ γ v → d r , sendo γ a fronteira do retângulo 1,2 × [ - 1,1 ] e v → x , y = 2 atan ⁡ y x i → + ( ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 x ) j → , percorrida no sentido anti-horário.

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  1. Calcule ∇ atan ⁡ y x   e   ∇ atan ⁡ x y
  2. Mostre que se f 1 , f 2 ,   f 3 : R → R são funções de classe C 1   e   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z , então F →   é   c o n s e r v a t i v o .

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  1. Calcule ∇ atan ⁡ y x   e   ∇ atan ⁡ x y
  2. Mostre que se f 1 , f 2 ,   f 3 : R → R são funções de classe C 1   e   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z , então F →   é   c o n s e r v a t i v o .

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Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

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Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

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Seja γ uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2

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Um campo de vetores F → em R 2 se diz radial (ou central) se existe uma função g : R → R tal que F ��� x , y = g r → r → , onde r → = x i → + y j → . Suponha que g é de classe C 1 . Mostre que F →   é conservativo.

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Uma lâmina plana com densidade constante ρ x , y = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C. Os momentos de inércia em relação aos eixos são:

(a)     I x = ρ 3 ∮ C y 2 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 d y

(b)     I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(c)       I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = - ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(d)       I x = ρ 3 ∮ C y 2 x d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 2 y d y

(e)       I x = - ρ 3 ∮ C y 3 d x                 I y = ρ 3 ∮ C x 3 d y

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Calcule

∫ γ x 2 d x + x d y + z d z

Sendo γ a intersecção das superfícies z = x 2 9 e z = 1 - y 2 4 , orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti horário.

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Calcule

∫ γ y 2 d x + 3 z d y

Sendo γ a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e z = 2 x + 4 y , orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti horário.

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Calcule

∫ γ 2 x d x + z 2 - y 2 2 d z , onde γ é o arco circular dado por x = 0 , y 2 + z 2 = 4 , de 0,2 , 0 a ( 0,0 , 2 ) no sentido anti-horário.

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Calcule

∫ γ x + y d x - x - y d y x 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida uma vez no sentido horário.

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Calcule

∫ γ y d x + x d y , sendo γ a fronteira da região limitada por x = 0 , y = 1 e y = x 2 , percorrida uma vez no sentido horário.

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Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F → x , y = x î + ( y + 2 ) j → ao mover uma partícula ao longo da cicloide r → t = t - sin ⁡ t i → + 1 - cos ⁡ t j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

b) ∮ ( x + 2 y ) d x + x - 2 y d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 de 0,0   a   ( 1,1 ) e do segmento de reta ( 1,1 ) a ( 0,0 ) , orientada positivamente.

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

c) ∮ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.

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Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

h) ∮ F → ∙ d r , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + ( x y 2 ) j → e γ consiste do arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) a ( 2 , 2 ) e dos segmentos de reta de ( 2 ,   2 ) a ( 0,0 ) e de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) .

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b) Usando (a) calcule a área de

(i) D = x , y ∈ R 2   : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ;

(ii) D = x , y ∈ R 2   : x 2 3 + y 2 3 ≤ a 2 3

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Determine a área da região limitada pela hipocicloide dada por r t = cos 3 ⁡ t i → + sin 3 ⁡ t j → , 0 ≤ t ≤ 2 π .

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Calcule

d) ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da região R = { x , y ∈ R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 } , orientada no sentido horário.

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Verifique que a integral ∫ γ 2 x sin ⁡ y d x + x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 d y , onde γ é uma curva ligando ( - 1,0 ) e ( 5,1 ) , é independente do caminho e calcule o seu valor.

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Sejam as curvas γ 1 a circunferência x 2 + y 2 = 1 16 percorrida no sentido anti-horário, γ 2 a circunferência x 2 + y 2 = 4 , percorrida no sentido anti-horario e γ 3 a curva formada pela união das três seguintes circunferências: x - 1 2 + y 2 = 1 9 , x + 1 2 + y 2 = 1 9 , ambas percorridas no sentido horário e x 2 + y 2 = 1 9 percorrida no sentido anti-horário. Se I k = ∫ γ k P d x + Q d y onde

P x , y = - y 1 x - 1 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 x + 1 2 + y 2

Q x , y = x - 1 x - 1 2 + y 2 + x x 2 + y 2 + x + 1 x + 1 2 + y 2

Então calcule I 1 , I 2   e   I 3 .

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Seja γ uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para

∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2

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Determine todos os valores possíveis da integral

∫ 0,0 2,2 - y d x + x d y x 2 + y 2

Sobre um caminho que não passe pela origem.

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Considere o campo F x , y = c x y î + x 6 y 2 j ^ ,   c > 0 , atuando sobre uma partícula que se move do ponto 0,0 até a reta x = 1 sobre a curva γ , gráfico da função y = a x b , com a > 0 e b > 0 . Determine um valor de c em termos de a e de b para que o trabalho realizado por F seja nulo.

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Calcule ∫ γ F ∙ d r onde F = - y x 2 + y 2 9 + y , x x 2 + y 2 9 + 3 x se

  1. γ é a curva x - 1 2 + y - 2 2 = 4 , percorrida uma vez no sentido horário.

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Calcule ∫ γ F ∙ d r onde F = - y x 2 + y 2 9 + y , x x 2 + y 2 9 + 3 x se

b) γ é a curva x - 1 2 + y 2 = 4 , percorrida uma vez no sentido horário.

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

  1. F x , y = x î + x j ^ , D = R 2

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

c) F x , y = 2 x 2 + 8 x y 2 î + 3 x 3 y - 3 x y j ^ - 4 z 2 y 2 + 2 x 3 z k ^ ,   D = R 3

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

d) F x , y , z = x + z î - y + z j ^ + x - y k ^ ,   D = R 3

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

e) F x , y , z = y 2 cos ⁡ x + z 3 î + 2 y sin ⁡ x - 4 j ^ + 3 x z 2 + 2 k ^ ,   D = R 3

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

f) F x , y , z = - y î + x j ^ x 2 + y 2 , D = R 2 - 0,0

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

g) F x , y , z = - y î + x j ^ x 2 + y 2 ,   D = R 2 - x , 0 : x ≤ 0

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Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

h) F x , y , z = x î + y j ^ x 2 + y 2 ,   D = R 2 - 0,0

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Calcule

  1. ∫ γ - 2 x y + x 2 d x + 8 - y 7 d y , onde γ é o gráfico de y = cos ⁡ x , no intervalo - π 2 ≤ x ≤ π 2 , percorrido no sentido de x crescente.

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Calcule

b) ∫ γ 2 x y 2 x 2 + 1 d x + 2 y ln ⁡ x 2 + 1 d y , onde γ é o arco da elipse 4 x 2 + y 2 = 1 do ponto 0,1 ao ponto 1 2 , 0 percorrido no sentido anti-horário.

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Calcule

c) ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 + x y d y onde γ é a fronteira da região no plano determinada pelas desigualdades y ≥ x - 1 e y 2 ≤ x + 1 , orientada no sentido anti horário.

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Calcule

d) ∫ γ 2 x y + sin ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y + x 2 d z onde γ é a intersecção das superfícies 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 e y = x , no 1º octante e orientada de forma que sua projeção no plano y z seja percorrida no sentido horário.

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Calcule

e) ∫ γ - y x 2 + 2 y 2 d x + x x 2 + 2 y 2 d y onde γ é a circunferência de centro 0,1 e raio 3, percorrida no sentido horário. O campo F é conservativo? Justifique sua resposta.

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Seja o campo F x , y = x î + y j ^ x 2 + y 2 e γ a curva dada por γ t = e t , sin ⁡ t para 0 ≤ t ≤ π . Calcule ∫ γ F ∙ d r .

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2018Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1P3 - 2016P3 - 2018Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1Lista 1 - 2023.1Lista de Exercícios - USP - Lista - Revisão de IntegraisP2 - 2022P3 - 2019Lista de Exercícios - USP - Lista - Integrais Duplas e Teorema de Fubini