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Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Calculo 3 – USP – P2

Seja A = ∬ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 , com a , b , c > 0 ,

Analise as seguintes afirmações:

  1. A = 4 π a b c , para S qualquer esfera x 2 + y 2 + z - p 2 , com p ∈ R e p ≠ 1 e orientada com normal exterior.
  2. A = 4 π a b c , para S qualquer cubo - p , p × - p , p × - p , p , com p ∈ R , com p > 0 e orientado com normal exterior.
  3. A = 0 , para S qualquer cilindro a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 , - p ≤ z ≤ p , com p ∈ R , p > 0 , orientado com normal exterior.

É correto afirmar que

Escolha uma:

  1. Apenas a afirmação I é verdadeira.
  2. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação II é verdadeira.
  5. Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Vamos começar devagar então. Vamos tentando resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Esta é uma questão que começa assustando bastante. Que diabos de integral de superfície é essa? E esses termos d y ∧ d z ? Como que a gente procede em relação a eles? O que é esse operador ∧ ???

São muitas dúvidas antes mesmo de começarmos a questão. E, na verdade, essa é a dificuldade dela. Depois que a gente passar por isto, tudo vai fluir facilmente.

Sendo assim, vamos começar por identificar ∧ . Este operador identifica um produto vetorial. Portanto, ao realizarmos o produto vetorial de d y ∧ d z , por exemplo, vamos obter o seguinte vetor:

d y ∧ d z = i → d S

Isto é, um vetor unitário na direção de x e multiplicado por d S . Podemos repetir o mesmo para os outros produtos vetoriais. Vamos obter então:

d z ∧ d x = j → d S

d x ∧ d y = k → d S

Portanto, a nossa integral é:

A = ∬ S x i → d S + y j → d S + z k → d S a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 = ∬ S x , y , z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 d S

A = ∬ S F → d S

Sendo F → = x , y , z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 . E agora já foi a parte mais difícil.

Passo 2

Agora podemos partir para a parte das afirmações em si, podemos já fazer as contas!

Só que, esta questão tem uma grande sacada, a qual envolve as três afirmações ao mesmo tempo. Percebam que a nossa função F → daria um grande trabalho de integrarmos em relação as superfícies dadas no enunciado.

Como todas as superfícies são fechadas, e o nosso campo F → satisfaz as condições de uso do Teorema do Divergente, podemos utiliza-lo para resolver a questão. Este teorema nos diz que:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∭ E d i v   F →   d V

Portanto, o nosso grande trabalho será calcularmos o divergente da função. Só que, ao calcularmos ele, verificaremos que algo especial acontecerá. E esta é exatamente a sacada da questão.

Passo 3

Sendo assim, vamos calcular o divergente da nossa função. Logo, temos:

d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 , y a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 , z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2

d i v   F → = ∂ ∂ x x a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 + ∂ ∂ y y a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 + ∂ ∂ z z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2

d i v   F → = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 - x 3 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 1 / 2 ⋅ 2 a 2 x a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 6 + a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 - y 3 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 1 / 2 ⋅ 2 b 2 y a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 6 + a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 3 / 2 - z 3 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 1 / 2 ⋅ 2 c 2 z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 6

d i v   F → = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 - 3 a 2 x 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2 + a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 - 3 b 2 y 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2 + a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 - 3 c 2 z 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2

d i v   F → = - 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2 + a 2 x 2 - 2 b 2 y 2 + c 2 z 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2 + a 2 x 2 + b 2 y 2 - 2 c 2 z 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 5 / 2

d i v   F → = 0

Portanto, o divergente da nossa função é identicamente nulo! Sendo assim, pelo teorema da divergência, temos:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∭ E d i v   F →   d V = 0

Independetemente da superfície S . Sendo assim, todas as afirmações são falsas (letra e)!

Resposta

todas as afirmações são falsas (letra e)!

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