Calculo 3 – USP – P2
Sejam , de classe em e , uma curva fechada, simples e lisa em .
Considere as seguintes afirmações:
- Se está contida no plano , então , quaisquer que sejam e .
- Se é constante e está contida no plano , então , qualquer que seja .
- Se e está contida no cilindro , então , qualquer que seja .
Assinale a alternativa verdadeira.
Escolha uma:
- Apenas as afirmações I e III são corretas.
- Todas as afirmações são falsas.
- Apenas as afirmações I e II são corretas.
- Apenas as afirmações II e III são corretas.
- Todas as afirmações são corretas.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
Logo de cara a questão parece ser bem complicada. Como vamos calcular a integral de linha se a gente não conhece as funções e ? E pior! Não conhecemos nem a curva . Só sabemos que ela é uma curva fechada, simples, lisa em e, em cada afirmação, está contida em uma superfície diferente.
E aí? O que fazemos??? Bom, a sacada para resolver todas as três afirmações está com o Teorema de Stokes.
Devido as características da curva e que o nosso campo vetorial ser de classe , o que significa que ele possui derivadas parciais contínuas, podemos utilizar este Teorema. Ele nos diz que:
Vocês verão que tudo funcionará do produto interno do rotacional do campo com o vetor normal a superfície que contém a curva . Então, para darmos início a questão, vamos calcular o rotacional em si. Logo,
Estamos quase lá! Como a curva está contida na superfície , que é um plano, então, o seu vetor normal é: (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam , e na equação do plano).
Sendo assim, ao fazermos o produto interno da nossa integral, temos:
E assim comprovamos que a afirmação I é verdadeira! Para qualquer curva contida em , a integral de linha é igual a 0.
Passo 2
Agora vamos repetir a mesma ideia para as afirmações II e III. A diferença é que temos que identificar o novo vetor normal de cada superfície.
Para a afirmação II, em especial, temos como constante (se essa informação foi dada, ela provavelmente será necessária).
Já a sua superfície é o plano . Como fizemos no Passo 1, o seu vetor normal é: (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam , e na equação do plano).
Portanto, vamos repetir o cálculo do produto interno.
Eita! Agora deu diferente de zero o produto interno. Significa então que a afirmação é falsa???
Muita calma nessa hora! Lembram que é uma constante? E qual é a derivada de uma constante? Pois é... . Logo,
E sim, a afirmação II é verdadeira!
Passo 3
E, para finalizarmos a questão, vamos para a afirmação III. Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao cilindro , o que nos dará um trabalhinho. Vamos ter que parametrizar a superfície e obter o vetor normal.
Do nosso cilindro, em coordenadas polares, temos , e . Portanto, a nossa superfície parametrizada é:
E as derivadas parciais são:
Agora, vamos fazer o produto vetorial para obtermos o vetor normal a nossa superfície. Logo,
O problema é que o vetor acima aponta para dentro do cilindro (orientação negativa). Para confirmarmos, basta colocarmos , e com isto, temos . Como precisamos de uma superfície orientada positivamente para utilizarmos o Teorema de Stokes, o vetor normal será:
Para calcularmos a nossa integral, vamos mudar as coordenadas do nosso rotacional. Mas antes disso, vamos lembrar que , logo, . E com isto, teremos:
E com isto, temos:
Portanto, a nossa integral de linha não será igual a zero para qualquer função !!! Com isto, verificamos que a afirmação III é falsa!
Logo, apenas as afirmações I e II são corretas (letra c).
Resposta
Apenas as afirmações I e II são corretas (letra c).