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Lista de Exercícios - USP de Cálculo 3 da USP - Lista 3 - 2022.1

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Cálculo 3 - USP

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

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Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

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Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

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A integral de superfície ∬ S cos ⁡ ( sin ⁡ ( z 2 ) ) d y   ∧ d z + y d y ∧ d x + x d x ∧ d y onde S é x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 e orientada com a normal exterior é

  1. 0 b) 4 π 3 c)   4 π / 6 d)   4 π 6 - 2 π e) 4 π 3 + 2 π

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Considere o campo F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3 .

O trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa e simples contida na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com ponto inicial ( 2,0 , 0 )   e ponto final 1,1 , 2 é

  1. 0           b)         1     c) π / 4 d) π / 3 e)         π / 2

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Analise as seguintes afirmações sobre o campo

F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3

(I) D i v F → =   1 .

(II) F → e conservativo em seu domínio.

(III) A integral de superfície de F → sobre qualquer a esfera de raio a é 0.

Podemos afirmar que:

a) todas as afirmações são verdadeiras.

b) apenas as afirmações (I) é (II) s ̃ao verdadeiras.

c) apenas as afirmações (I) é (III) s ̃ao verdadeiras.

d) apenas a afirmações (I) é verdadeira.

e) apenas a afirmações (II) é verdadeira.

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Seja S a parte do plano z = 2 x + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Uma parametrização da superfície S é

a )   x   =   u   c o s   v ,   y   =   u   s e n   v ,   z   =   2 u   c o s   v   +   3   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

b )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   2 u   +   3 ,   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ] �� e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

c )   x   =   u ,   y   =   v ,   z   =   2 u   +   3   c o m   v   ∈   [ - 1 ,   1 ]   e   u   ∈   [ - 1 ,   1 ] .

d )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   u   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   2   c o s   v   +   3 ] .

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Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

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