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P2 de Cálculo 4 da UFRJ - 2017.1

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Cálculo 4 - UFRJ

Seja f   :   [ 0 ,   4 ]   →   R a funcão definida por

f x = 2 x ,     0 ≤ x < 2 2 x - 8 ,     2 ≤ x ≤ 4

a Determine a série de Fourier em senos de f .

b Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 12 ,   12 ] .

c Calcule o valor da série ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) m   ( 2 m   +   1 )

Dica: cos ⁡ m π 2 = 0 para m ímpar e sen ⁡ m π 2 = 0 para m par.

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Determine a solução u ( x ,   t ) do problema

u t ( x ,   t )   -   u x x ( x ,   t )   =   0 ,   ( x ,   t )   ∈   ( 0 ,   4 )   ×   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( 0 ,   t )   =   u ( 4 ,   t )   =   10 ,   t   ∈   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( x ,   0 )   =   10   c o s   π x   4 +   10 ,   x   ∈   ( 0 ,   4 ) .

Dica 1:

O problema

y " =   λ y X 0 =   X L =   0

Tem autovalores λ n = - n ² π ² L ² ,     n = 1,2 , 3 …

e autofunções Y n = c n sen ⁡ n π x L ,     n ≥ 1

Dica 2:

∫ d y     y = ln ⁡ y + C      

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Determine todos os valores de   λ para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução não trivial.

Y " ( y )   -   λ Y   ( y )   =   0  

Y ' ( 0 )   =   0 ;   Y '   ( 2 )   =   0 .

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Considere o seguinte problema:

u y y + u x y   =   x u y   , ( x ,   y )   ∈   R   ×   R .  

a Ache todas as soluções não triviais dessa equação que possam ser escritas na forma

u ( x ,   y )   =   X ( x ) Y   ( y ) .

b Ache uma solução não trivial que satisfaz

u ( 0 ,   0 )   =   0   e   u x ( 0 ,   0 )   =   0 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

P2 - 2013.2PF - 2014.1P2 - 2015.1PF - 2015.1PF - 2017.1P1 - 2017.1P2 - 2018.1PF - 2018.2P2 - 2022.1P3 - 2020.2