Considere o seguinte problema:
Ache todas as soluções não triviais dessa equação que possam ser escritas na forma
Ache uma solução não trivial que satisfaz
Passo 1
Vamos começar pela separação de variáveis e buscar por soluções do tipo:
Substituindo na equação
Passando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro lado
Como essa igualdade vale para todo e todo , vamos igualá-la a uma constante
Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...
Precisamos agora achar
Passo 2
Para temos:
Que é uma EDO separável!
Passando a exponencial dos dois lados:
Passo 3
Agora para , como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de
Passo 4
Agora vamos analisar cada caso.
Se teremos duas raízes iguais e reais.
E a solução da EDO vai ficar com essa carinha bela aqui
Se teremos duas raízes reais e diferentes, e a solução seria
Como já vimos a solução com , sobra a com :
Então a solução da EDO seria:
Passo 5
Ache uma solução não trivial que satisfaz
Aplicando as condições de contorno na nossa primeira solução:
Então, para qualquer , as soluções serão não-triviais!
Agora aplicando as condições de contorno na nossa segunda solução:
Como obtivemos essa solução com , temos
Neste caso, só teremos soluções não triviais se .
Resposta
são soluções não triviais.
As soluções para p PVC não triviais são: em e em