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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

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Exercício 71234568910

Enunciado

Determine a solução u ( x ,   t ) do problema

u t ( x ,   t )   -   u x x ( x ,   t )   =   0 ,   ( x ,   t )   ∈   ( 0 ,   4 )   ×   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( 0 ,   t )   =   u ( 4 ,   t )   =   10 ,   t   ∈   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( x ,   0 )   =   10   c o s   π x   4 +   10 ,   x   ∈   ( 0 ,   4 ) .

Dica 1:

O problema

y " =   λ y X 0 =   X L =   0

Tem autovalores λ n = - n ² π ² L ² ,     n = 1,2 , 3 …

e autofunções Y n = c n sen ⁡ n π x L ,     n ≥ 1

Dica 2:

∫ d y     y = ln ⁡ y + C      

Passo 1

Primeiro, vamos mexer no problema para ele ficar com condições homogêneas e mais fácil de resolver. Beleza ?!

Vamos dizer que a solução procurada é dessa forma:

u x ,   t = v x + w ( x , t )

E que satisfazendo as condições do nosso problema

v x = 10

v 0 =   v 4 =   10 v " x = 0 , x ∈   ( 0 ,   4 )

Sendo v x = 10

Logo, o problema fica com condições homogêneas. Ufa!

w t ( x ,   t )   -   w x x ( x ,   t )   =   0 ,     x ,   t ∈ ( 0 ,   4 )   ×   ( 0 , ∞ ) ,

  w ( 0 , t )   = w ( 4 , t )   =   0 ,     t ∈ ( 0 , ∞ ) ,

  w x , 0 =   10   c o s   π x   4 ,     x ∈ ( 0 ,   4 ) .

Agora sim! Vamos começar pela separação de variáveis e buscar por soluções do tipo:

w x ,   t = X ( x ) T ( t )

Substituindo   w na equação

  X x T ' ( t ) - X " ( x ) T ( t )   = 0

Passando tudo que tem x para um lado e tudo que tem y para o outro lado

X " X   = T ' t T ( t )

Como essa igualdade vale para todo x e todo y , vamos igualá-la a uma constante

X " X   = T ' t T ( t ) =   - λ

Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...

X " x +   λ X x =   0 ,  

X 0 =   X 4 =   0 ,

  e   T ' ( t ) +   λ T ( t )   =   0

Isso nos dá um PVC em X x .

Passo 2

Agora sim, você pode usar aquela dica marota do enunciado. Aquele problema de autovalor tem as seguintes soluções...

λ n = n ² π ² 16 ,     n = 1,2 , 3 …

X n = c n s e n n π x 4 ,     n = 1,2 , 3 …

No nosso caso, L = 4 .

Passo 3

Agora vamos substituir λ n = n ² π ² 16 ,     n = 1,2 , 3 na EDO de T ( t )

  T ' t + n ² π ² 16       T ( t )   =   0

Reconhece essa equação como uma EDO separável, não é ?!

Resolvendo vai ficar assim

d T - n ² π ² 16       T = d t

Integrando dos dois lados

Usando aqui a dica dois do enunciado.

- 1 n ² π ² 16 ∫ d T t     T t = - 1 n ² π ² 16 ln ⁡ T t + C      

∫ d t = t

ln ⁡ T t = -   n ² π ² 16 t + A

Aplicando a exponencial dos dois lados

T t = A n e -   n ² π ² 16 t

Passo 4

Agora sim, temos a solução!

u n x ,   t = X x T t = c n s e n n π x 4 e -   n ² π ² 16 t

Pelo princípio da superposição, podemos escrever a série de boas

u n x ,   y = ∑ n = 1 ∞ c n s e n n π x 4 e -   n ² π ² 16 t

Passo 5

Ainda não estamos prontos, precisamos determinar o coeficiente. Para isso, aplicamos a condição inicial: w x ,   0 = 10   c o s   π x   4

w n x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ c n s e n n π x 4 = 10   c o s   π x   4  

Os valores c n pertencem aos coeficientes da série de Fourier de senos de período 8 da função 10   c o s   π x   4 com extensão ímpar de [ - 4,4 ] .

Repara que para n=1 c 1 = 0 para satisfazer a igualdade.

Calculando esses coeficientes para n ≥ 2

c n =   2 4 ∫ 0 4 10   c o s   π x   4 s e n n π x 4 = 5 ∫ 0 4 c o s   π x   4 s e n n π x 4 = 5 2 ∫ 0 4 s e n ( n + 1 ) π x 4 + ∫ 0 4 s e n ( n - 1 ) π x 4   = 5 2   - 4 ( n + 1 ) π cos ( n + 1 ) πx 4 ⁡ -   4 ( n - 1 ) π c o s ( n - 1 ) π x 4 0 4 =   5 2   - 4 n + 1 π cos n + 1 π ⁡ +     4 n + 1 π - 4 n - 1 π c o s n - 1 π + 4 ( n - 1 ) π    

Usamos aqui as fórmulas do seno da soma e do seno da diferença:

2 s e n b cos ⁡ a = s e n a + b - s e n ( a - b )

Reescrevendo este resultado...

  5 2   8 n n 2 - 1 π +   ( - 1 ) n 8 n ( n ² - 1 ) π =   20 n   ( 1 + - 1 n )   n 2 - 1 π  

Por causa desse termo, percebemos que para todo   n ímpar, c n =   0 .

Para todo   n par, c n =   20 n   ( 1 + - 1 n )   n 2 - 1 π   .

Assim, podemos reescrever de novo para ficar ainda mais bonito. Espia só

Apenas substituímos   n por 2 k   e 1 + - 1 n = 2 , quando n é par !

c 2 k + 1 =   0 c 2 k =   80 k     4 k 2 - 1 π

Substituindo no somatório todo   n por 2 k e aplicando o valor desses coeficientes a nossa solução em série:

w x ,   y = ∑ k = 1 ∞ 80 k   4 k 2 - 1 π s e n k π x 2 e -   k ² π ² 4 t

Assim, a solução final:

u x ,   t = v x + w x , t = 10 + ∑ k = 1 ∞ 80 k   4 k 2 - 1 π s e n k π x 2 e -   k ² π ² 4 t

Resposta

u x ,   y = 10 + ∑ k = 1 ∞ 80 k     4 k 2 - 1 π s e n k π x 2 e -   k ² π ² 4 t

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Nos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.13. y ' ' + π 2 y = a - c o s π x ,y 0 = 0 ,
Suponha que α 2 = 1 e que s(x) = k na Eq. (i), com k constante. Encontre υ(x).Suponha que T 1 = 0 ,T 2 = 0 ,L = 20 ,k = 1 / 5 e que f(x) = 0 para 0
Nos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansões em autofunções.4. y ' ' + 2 y ' = - x ,y ' 0 = 0 ,y ' 1 + y 1 = 0 ; Veja seção 11.2, Problema 11.
Nos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansões em autofunções.4. y ' ' + 2 y = - 1 + 1 - 2 x ,y 0 = 0 ,y 1 = 0 ; Veja seção 11.3, Problema 1.
Mostre que o problema y ' ' + π 2 y = π 2 x ,y 0 = 1ey 1 = 0 tem solução y = c 1 s e n π x + cos ⁡ π x + x . Mostre ainda que essa solução não pode ser obtida separando-se problema como sugerido no pr