Seja a funcão definida por
Determine a série de Fourier em senos de .
Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item no intervalo
Calcule o valor da série
Dica: para ímpar e para par.
Passo 1
Vamos lembrar nossas fórmulas pras séries de Fourier em senos, fera!
No nosso caso, !
Passo 2
Vamos começar achando substituindo as coisas na fórmula:
Como é definida de duas formas diferentes entre e , temos que separar as integrais:
Repara agora que podemos juntar de novo aquelas integrais em multiplicando o seno:
Passo 3
Show, agora podemos resolver isso aí! Vamos resolver a primeira integral primeiro:
Integrando por partes:
Ficamos com:
Vamos partir pra próxima integral! Essa é moleza:
Passo 4
Juntando as duas:
Então nossa função fica:
Passo 5
Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item no intervalo
Para esboçar o gráfico dessa função vamos ter que expandi-la. E não podemos nos esquecer de que tem que ser uma expansão ímpar pra ficarmos com uma série de Fourier em senos! Todo esse desenvolvimento da letra foi feito assumindo uma expansão ímpar de 😉
Vamos chamar de essa expansão. Nossa função ímpar tem que obedecer:
Então vamos ficar com:
Agora é só repetir isso aí periodicamente:
Outra coisa importante pra lembrar é que essa é a extensão ímpar da nossa , mas o que a letra está pedindo é o gráfico da série de Fourier! A única diferença é que, nos pontos de descontinuidade vamos ter que tirar a média! Assim olha:
Passo 6
Calcule o valor da série
Vou logo avisando pra se preparar porque essa letra não é muito bonita não haha.
Bom, certamente nós vamos ter que usar aquela série de Fourier da letra pra alguma coisa né? Então vamos jogar ela aqui:
Usando a dica do enunciado sabemos que vale quando é ímpar! Então só os termos pares dessa série importam (porque os ímpares são haha). Ficamos então com:
Repara agora que apareceu um ! Quando for par, isso vale e quando for ímpar isso vale , então:
Substituindo:
Agora você tinha que ter uma iluminação divina de pensar em usar o ponto ! Ué, mas por que ? Porque assim aparece o termo que sabemos ser quando é par! Pois é! Ficaria assim:
Com isso, a gente pode desconsiderar os pares e pegar só os ímpares pela mudança :
Repare que temos:
Show?
Ta ficando parecido com o que a letra pede em! Vamos dar uma mexida agora naquele que ta diferente:
Po, mas elevado à um número par é sempre ! Então:
Agora a gente desenvolve esse seno:
Agora você tinha que buscar lá do fundo do baú das lembranças que ! Aí ficamos com:
E agora repara que se for par, o cosseno vale e se for ímpar, o cosseno vale ! Então:
Substituindo:
Opa, opa opa! Agora sim, ta quase idêntico ao que o enunciado pede! Só falta a gente se livrar dessas constantes:
Ufa! Finalmente chegamos na resposta! Esses professores viajam demais né não?
Resposta
