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Listas GMA de Cálculo IIB da UFF - Lista 11

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Cálculo IIB - UFF

1. Considere as funções f : U   ⊂   R 2 → f U ⊂ R 2 u , v → u - v 2 , u + v 2 e g : V   ⊂ R 2 → g V ⊂ R 2 x , y → y + x 2 , y - x 2 onde U = u , v ∈ R 2 : u > v e V = x , y ∈   R 2 : x > 0

a) Verifique que g   o   f u , v = u , v ,   ∀ u , v ∈ U ⊂ R 2 e f   o   g x , y = x , y ;   ∀ x , y ∈ V ⊂ R 2 . O que se pode concluir sobre f e g ?

b) Determine D f u , v e D g x , y .

c) Se x , y = f u , v e u , v = g x , y e I é a matriz identidade 2   x   2 , faça os produtos nos lados esquerdos das igualdades a seguir e verifique que:

D g f u , v x   D f u , v = I ,   ∀ u , v ∈ U ⊂ R 2 e D f g x , y x D g x , y = I ,   ∀ x , y ∈ V ⊂ R 2 .

Sem calcular esses produtos, já era esperado que essas igualdades se verificassem. Por que?

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2. Seja u , v , w = f x , y , z ,   x , y , z ∈ U , onde U é um conjunto aberto e f é de classe C 1 . Sabe-se que 1,0 , - 1   ∈ U ,   f 1,0 , - 1 = 1,2 , - 3 e D f 1,0 , - 1 =   1 0 1 0 - 2 0 0 2 1

a) Existe uma função f - 1 inversa da função f definida em f V , onde V é uma vizinhança de 1,0 , - 1 ,   f V é um conjunto aberto, 1,2 , - 3 ∈ f V e f - 1 é da classe C 1 . Por que é possível garantir que essa afirmação é verdadeira?

b) Encontre D f - 1 1,2 , - 3

c) Encontre D f - 1 1,2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3 , para u , v , w ∈ f V ;

d) Encontre uma aproximação afim de f - 1 u , v , w para u , v , w ∈ f V .

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3. Seja f : U = R 3 → f U = R 3 x , y , z → u , v , w = x , y 3 , z 5

a) Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função f - 1 :   f U = R 3 → U = R 3 u , v , w → x , y , z

b) Encontre o jacobiano ∂ u , v , w ∂ x , y , z em qualquer x , y , z

c) Verifique que ∂ u , v , w ∂ x , y , z = 0 em qualquer x , 0 , z e em qualquer x , y , 0

d) Os itens a )   e   c )   contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.

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Seja F x , y = e x + y , e x - y com domínio U = R 2

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y ∈ R 2
  2. Determine D F - 1 F - 1 , - 1

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Seja F x , y , z = x - y 2 , y - z 2 , z - x 2

  1. Mostre que F admite inversa numa funzinhança de qualquer x , y , z ∈ R 3 tal que 8 x y z ≠ 1
  2. Verifique que F 1,0 , 1 = 1 , - 1,0 , calcule F - 1 ' 1 , - 1,0 e obtenha a função afim que melhor aproxima f - 1 na vizinhança de   1 , - 1,0 .

OBS: A questão tem um pequeno erro, quando fizermos F 1,0 , 1 vamos ver que o que está no enunciado na lista está errado, aqui eu corrigi para deixar certinho.

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A função f ρ , θ , ϕ = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ cos ⁡ ϕ está definida em todo   ρ , θ , ϕ ∈ R 3 . Em que pontos   ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ∈ R 3 é possível garantir que essa função admite inversa numa vizinhança de ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ?

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Listas de Exercícios Resolvidos

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