Seja com domínio
- Mostre que admite inversa numa vizinhança de qualquer
- Determine
Passo 1
Para verificar se a função é inversível temos que achar o jacobiano dessa função. Para isso primeiro identificamos quem são e , nesse caso porque temos .
Agora vamos ter
Já temos o jacobiano em um ponto qualquer
Passo 2
Para ela ser inversível o determinante desse jacobiano deve ser diferente de
Essa função é sempre diferente de independente do valor de , logo a função é inversível
Passo 3
Como as funções e são deriváveis e o determinante do jacobiano é diferente de podemos aplicar o teorema da função inversa. Lembrando que nesse caso, como ele disse que quer no ponto , então
Teremos
Usando a álgebra linear vamos ter