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P1 - Profº Leonardo de Cálculo IIB da UFF - 2018.2

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Cálculo IIB - UFF

(1) Seja f x , y = 1 1 - x 2 - y 2 .

a) Descreva e esboce o domínio D o m ( f ) .

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(1) Seja f x , y = 1 1 - x 2 - y 2 .

b) Descreva as curvas de nível de f , esboçando na sua figura do domínio curvas típicas

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(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

a) Determine em que pontos f é contínua.

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(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

b) Calcule as derivadas parciais f x , f y em 0,0 .

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(2) Seja

f x , y = { s i n s i n   x y   x ,     s e   x ≠ 0   y ,     s e   x = 0  

c) Generalizando b) acima, calcule as derivadas parciais em todos os pontos 0 , y em que x = 0 .

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(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

d) f é derivável em 0,0 ?

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(4) Seja f x , y = x y 2 - y x 2 + x e determine os pontos em que o plano tangente ao gráfico de f é “horizontal” em R 3 (isto é, o plano é ortogonal ao eixo z ).

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Sejam γ : R → R 3 ,   g :   R 3 → R ² diferenciáveis e f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y definida em todo R ² . Sobre γ   e   g se sabe que:

γ - 2 = 3,1 , - 3                                       γ 0 = - 3,3 , 1                                                       γ 2 = ( 1 , - 3,3 )

D γ - 2 = 2 1 - 2                                         D γ 0 = 1 - 2 2                                           D γ - 2 = 2 1 - 2

g 1 , - 3,3 = 1,2                       ��               g 3,1 , - 3 = 2,0                                                       g - 3,3 , 1 = ( 0,1 )

D g 1 , - 3,3 = 2 3 1 1 2 3                   D g 3,1 , - 3 = 3 1 0 2 3 1                       D g - 3 , 3 , 1 = 1 2 3 3 1 0    

Considere a composta F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

  1. Determine a matriz jacobiana D F no ponto x , y = 2,0 .

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Sejam γ : R → R 3 ,   g :   R 3 → R ² diferenciáveis e f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y definida em todo R ² . Sobre γ   e   g se sabe que:

γ - 2 = 3,1 , - 3                                       γ 0 = - 3,3 , 1                                                       γ 2 = ( 1 , - 3,3 )

D γ - 2 = 2 1 - 2                                         D γ 0 = 1 - 2 2                                           D γ - 2 = 2 1 - 2

g 1 , - 3,3 = 1,2                                       g 3,1 , - 3 = 2,0                                                       g - 3,3 , 1 = ( 0,1 )

D g 1 , - 3,3 = 2 3 1 1 2 3                   D g 3,1 , - 3 = 3 1 0 2 3 1                       D g - 3 , 3 , 1 = 1 2 3 3 1 0    

Considere a composta F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

  1. Estime o valor de F em x = 1,8   e   y = 0,3 .

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