Listas GMA de Cálculo IIB da UFF - Lista 8

1. Sendo , calcule a derivada direcional no ponto na direção do vetor

5. Considere um vetor unitário e calcule

6. Considere um vetor unitário e calcule

Uma função de classe tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção do vetor e igual a na direção do vetor . Calcule:

2. , onde tem a direção do vetor

Suponha que represente uma distribuição de temperatura no plano e um indivíduo que se encontra na posição presente dar um passeio.

1. Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deveria percorrer para desfrutar sempre da mesma temperatura.
2. Qual a direção que deveria tomar se quisesse caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
3. Se e são medidos em e a temperatura em , de quanto a temperatura se elevará aproximadamente, caso caminhe na direção encontrada no item ?
4. De quanto decrescerá aproximadamente a temperatura, caso caminhe na direção ?

A temperatura de uma chapa plana é dada por , com e em e em Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos a partir do ponto na direção do vetor que faz um ângulo com o semi-eixo positivo, se:

10. Calcule a derivada direcional de , na direção da tangente à circunferência em no mesmo ponto.

A temperatura de uma chapa plana é dada por . A partir do ponto , determine:

1. O gradiente da temperatura
2. A direção em que a temperatura cresce mais rápido e qual a taxa de crescimento.
3. A direção em que a temperatura decresce mais rápido e qual a taxa de decrescimento.
4. , em que faz um ângulo de com o gradiente de em

12. Num balão a temperatura em qualquer ponto diferente do centro é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro . Calcule a taxa de variação da temperatura em seguindo um vetor unitário . Caracterize as taxas máxima, mínima e nula no ponto .

A temperatura numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto. Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.

14. Verificou-se que a densidade do ar em certa região industrial é mais sensível na direção vertical e que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Estude a densidade do ar sabendo que tende a zero quando a altura tende a infinito.