P1 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2011.2

1. Prove .

Seja uma variável aleatória contínua com densidade:

Qual é o valor de que faz uma função de densidade.

Em uma certa população foi constatado que a prevalência de diabetes é de . Um determinado teste diagnostica que, se o paciente não é sadio existe do resultado ser positivo, e, se o paciente não tem a doença existe de não detectar no teste.

Uma pessoa é diagnosticada. Qual é a probabilidade de que realmente ela está diabética, sabendo-se que o resultado do teste foi positivo (acusou a existência da doença)?

Para a seguinte função:

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória .
2. Qual é a probabilidade quando .

O tempo em horas que um certo componente funciona pode ser representado por uma variável aleatória contínua , cuja função densidade de probabilidade é:

1. Calcular o valor de .
2. Qual a probabilidade que um destes componentes tenha que ser substituído após horas de operação?

Observe a seguinte estatística descritiva referente a uma determinada amostra:

Com relação à estatística descritiva acima, responda as perguntas abaixo:

1. Qual o coeficiente de variação da amostra?
2. Qual a amplitude máxima da amostra?
3. Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
4. O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma Normal?
5. O que o percentil de desta amostra nos permite dizer?
6. Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
7. Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma de elementos onde: os intervalos são iguais; é o ponto médio de cada classe (intervalo); frequência absoluta simples; frequência cumulada. Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua com densidade , apenas para .

1. Calcule a função de distribuição de .
2. Calcule a média, variância e o desvio padrão de .

Defina população e amostra. Dê exemplos.