Para a seguinte função:

f x = 1 k 2 3 x   ,       x = 2,3 , 4 , …

  1. Determine a constante k para que f x seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória X .
  2. Qual é a probabilidade quando x ≤ 3 .

Passo 1

Pra ser uma função de probabilidade, o somatório dessa função para todos os valores de x tem que resultar em 1 .

∑ i = 0 ∞ f x i = 1

Nesse caso i começa do 2 né?

∑ i = 2 ∞ 1 k 2 3 x = 1

Passo 2

Pra resolver isso, você precisa lembrar daquele regrinha de somatório de séries geométricas.

∑ i = 0 ∞ a k = 1 1 - a

Lembra?

Adaptando o i ...

∑ i = 1 ∞ a k = a . 1 1 - a

∑ i = 2 ∞ a k = a 2 . 1 1 - a

Agora observa nossa função...

∑ i = 2 ∞ 1 k 2 3 x

O 2 3 ali seria o nosso " a " .

∑ i = 2 ∞ 1 k 2 3 x = 1 k × 2 3 2 . 1 1 - 2 3

= 1 k × 4 9 × 3

= 1 k . 4 3

Passo 3

Agora só igualar a 1 .

1 k . 4 3 = 1

k = 4 3

f x = 3 4 2 3 x

Passo 4

(b)

Para x ≤ 3 , nós só vamos ter x = 2 e x = 3 , então a nossa probabilidade será:

P X ≤ 3 = f 2 + f 3

= 3 4 . 2 3 2 + 3 4 . 2 3 3

= 3 4 . 4 9 + 3 4 . 8 27

= 1 3 + 2 9

= 5 9

Resposta

a   k = 4 3

b 5 9

Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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