Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Em uma certa população foi constatado que a prevalência de diabetes é de 4 % . Um determinado teste diagnostica que, se o paciente não é sadio existe 95 % do resultado ser positivo, e, se o paciente não tem a doença existe 98 % de não detectar no teste.

Uma pessoa é diagnosticada. Qual é a probabilidade de que realmente ela está diabética, sabendo-se que o resultado do teste foi positivo (acusou a existência da doença)?

Passo 1

Vamos anotar os dados do problema...

D → p e s s o a   t e r   d i a b e t e s

O problema diz que 4 % da população tem diabetes, então:

P D = 4 %

Isso já diz que 96 % da população é sadia, concorda?

P D c = 96 %

D c → s ã o   o s   s a d i o s

Passo 2

O exercício também diz que existe 95 % de chance do resultado dar positivo, dado que a pessoa tem diabetes.

P P D = 95 %

Onde:

P → e x a m e   p o s i t i v o ,   p e s s o a   d i a g n o s t i c a d a   c o m   d i a b e t e s

Mas também existe a chance da pessoa que não tá doente ser diagnosticada, que é de:

P P D c = 2 %

Confere que no texto ele diz que tem 98 % de chance de dar negativo com a pessoa realmente não tendo a doença, que é a mesma coisa que eu disse.

Passo 3

Tá, mas o que que a gente tem que calcular?

A probabilidade da pessoa realmente estar doente, sabendo que o exame deu positivo.

P D P =   ?

Para isso vamos usar o teorema de Bayes, pois já sabemos que no final o teste deu positivo, mas precisamos saber se ela está ou não doente de fato.

P D P = P P D × P D P P

Passo 4

Antes então precisamos da probabilidade total do exame dar positivo, ela estando ou não doente. Vamos usar probabilidade total aqui.

P P = P P D × P D + P P D c × P D c

= 95 % × 4 % + 2 % × 96 %

= 0,0572

Passo 5

Agora já temos tudo que precisamos.

P D P = 95 % × 4 % 0,0572

= 0,6643

Resposta

66,43 %

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