P1-2017/1 PUC-Rio Questão 6
Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade , com suporte no intervalo .
a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.
b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.
Passo 1
a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.
Então, como estamos no caso de uma v.a. contínua, aqui a nossa FDA é dada pela integral de até da função densidade!
Como ele já deu a função de densidade, vamos integrar e partir pro abraço:
Como ele deu que o intervalo válido pra essa função densidade é de até , temos o seguinte:
Antes de não temos nenhuma probabilidade acumulada, já que a função começa daí. E o máximo da FDA é 1, e isso acontece em , portanto para valores maiores do que a função é sempre .
Passo 2
b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.
Bom, sabemos que a média, ou valor esperado, de uma v.a. contínua é dada pela integral:
Substituindo pela função, temos:
Passo 3
Para calcular a variância, vamos usar aquela formulazinha esperta:
Já temos a , então basta elevar ao quadrado e substituir. Dito isso, vamos calcular !
Substituindo tudo:
Resposta
a)
b)