P3 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2018.1

Tem-se um modelo probabilístico descrito por uma variável aleatória discreta que modela o seguinte experimento: repete-se o experimento de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso até atingir o primeiro sucesso.

Determine qual é o modelo probabilístico que deve ser adotado para estimar o parâmetro desta função de probabilidade e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro, detalhe todos os passos da solução.

Um fabricante de baterias para automóveis afirma que a duração de suas baterias é em média de anos, as quais tem uma distribuição normal com um desvio padrão igual a anos.Um auditor pega uma amostra de 10 baterias e obteve um desvio padrão de 1,2 anos.

b) Com base nos dados do fabricante e considerando que a média do auditor coincidiu com a do fabricante, qual é o intervalo de confiança para a média se considerarmos um nível de confiança de 99%?

Um fabricante de baterias para automóveis afirma que a duração de suas baterias é em média de anos, as quais tem uma distribuição normal com um desvio padrão igual a anos.

1. Um auditor pega uma amostra aleatória de de tais baterias e obteve um desvio padrão de anos. Deseja-se saber se existe diferença do desvio padrão ao nível de significância de ?

Defina claramente sua hipótese. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeitação e aceitação de .

Em um teste de hipóteses, como se definem os parâmetros: alfa (probabilidade do erro tipo I) e beta (probabilidade do erro tipo II)?

Um fabricante de latas para conservas sabe que deve ajustar o equipamento que produz as latas se o valor médio do peso for maior ou igual ao peso relatado na lata, e que é de gramas. Para decidir sobre o que fazer, o fabricante obteve uma amostra de latas retiradas ao acaso do estoque produzido, pesou as latas e obteve um peso médio igual a gramas e um desvio padrão amostral igual a gramas. Sabe-se ainda, da história do processo e de testes efetuados, que o verdadeiro desvio padrão é de gramas.

Pede-se:

1. Especifique as hipóteses para conduzir um teste para a média com o intuito de encontrar a decisão que o fabricante deve tomar.

1. Qual é a formulação e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância e admitindo que o desvio padrão é desconhecido?

Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de .

Um fabricante de latas para conservas sabe que deve ajustar o equipamento que produz as latas se o valor médio do peso for maior ou igual ao peso relatado na lata, e que é de gramas. Para decidir sobre o que fazer, o fabricante obteve uma amostra de latas retiradas ao acaso do estoque produzido, pesou as latas e obteve um peso médio igual a gramas e um desvio padrão amostral igual a gramas. Sabe-se ainda, da história do processo e de testes efetuados, que o verdadeiro desvio padrão é de gramas.

Pede-se:

1. Especifique as hipóteses para conduzir um teste para a média com o intuito de encontrar a decisão que o fabricante deve tomar.
2. Qual é a formulação e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância e se considerarmos o desvio padrão conhecido?

Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de .

Examinadas 500 peças de uma grande produção encontrou-se 260 peças sem defeitos. No nível de confiança de 90% construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de peças defeituosas.

A tabela a seguir mostra a estatística descritiva do desempenho acadêmico de duas turmas (T1 e T2) durante o curso de PROBEST na PUC-Rio.

Os alunos da turma T1 afirmam que em média o desempenho deles é muito melhor quando comparado com o desempenho dos alunos da turma T2. Por outro lado, os alunos da turma T2 afirmam que apesar do valor médio da T1 ser um pouco maior, ambos os desempenhos podem ser considerados estatisticamente iguais.

Para resolver essa discussão, pede-se que você apresente uma solução detalhada das seguintes questões:

1. Estime o Intervalo de confiança para a diferença das médias populacionals das turmas (T2-T1) para um nível de confiança de 99%. Considerando o resultado obtido, qual a sua conclusão?