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Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

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Enunciado

Distribuição Bernoulli e Binomial

Em um determinado jogo, um jogador vendado tem direito a escolher 5 cartas em um baralho contendo 8 cartas douradas e 12 cartas brancas. Cada vez que uma carta é escolhida, verifica-se a sua cor e ela é devolvida ao baralho, que é embaralhado. Cada carta dourada que o jogador tira rende-lhe um prêmio de R$ 100,00.

  1. Quanto se espera que o jogador ganhe, em média, neste jogo? Qual é o desvio padrão do prêmio do jogador?
  2. Qual é a probabilidade de que o jogador ganhe algo?
  3. Qual é a probabilidade condicional de que o jogador ganhe o prêmio máximo, dado que ele ganhará algo?

Passo 1

(a)

Primeiro vamos considerar:

D : q u a n t i d a d e   d e   c a r t a s   d o u r a d a s   e s c o l h i d a s   d e n t r e   a s   5

E:

G : g a n h o   d o   j o g a d o r   n o   f i n a l

Pelo enunciado a gente sabe que pra cada carta dourada escolhida o jogador ganha R $ 100,00 , ou seja:

G = 100 × D

O que a gente quer agora é o valor esperado e o desvio padrão de G .

E G =   ?                   D P G =   ?

Passo 2

Usando as propriedades da esperança, sabemos que:

E G = E 100 × D = 100 × E D

D P G = D P 100 × D = | 100 | × D P ( D )

Então precisamos calcular E D e D P ( D ) .

Passo 3

Sabemos que D é a quantidade de cartas douradas escolhidas dentre as 5 chances que temos, isso nos leva a considerar que D segue uma distribuição Binomial.

Onde:

n = 5

Sucesso nesse caso seria retirar uma carta dourada, como são 8 douradas e 20 cartas no total,

p = 8 20 = 0,4

Então:

D   ~   B i n ( 5 ; 0,4 )

Passo 4

De acordo com o que sabemos de Binomial.

E D = n p

E D = 5 × 0,4 = 2

Para calculr D P ( D ) , precisamos antes da variância.

V a r D = n p 1 - p

V a r D = 5 × 0,4 × 0,6 = 1,2

Agora fazemos:

D P D = V a r ( D )

D P D = 1,2

Passo 5

Agora podemos calcular:

E G = 100 × E D

      = 100 × 2

E G = 200

D P G = 100 × D P D

                    = 100 × 1,2

D P G ≈ 109,54

Passo 6

(b)

A probabilidade do jogador ganha algo é a probabilidade de ser retirada pelo menos uma carta dourada , concorda ?

Vamos calcular então:

P D ≥ 1 =   ?

Lembrando que D   ~   B i n 5 ; 0,4

P D ≥ 1 = 1 - P D = 0

Usando a fórmula de Binomial.

P D = 0 = 5 0 . 0,4 0 . 0,6 5

P D = 0 = 0,07776

Passo 7

Substituindo o valor, encontramos o que queremos:

P D ≥ 1 = 1 - P D = 0

                                = 1 - 0,07776

P D ≥ 1 = 0,92224

Passo 8

(c)

Bom, pro cara ganhar o prêmio máximo, ele precisa que as 5 cartas escolhidas sejam douradas, a probabilidade disso acontecer seria:

P D = 5 =   ?

Mas o exercício quer a prob. disso acontecer sabendo que o cara vai ganhar pelo menos alguma coisa, ou seja, sabendo que D ≥ 1 .

Isso seria a probabilidade condicional.

P D = 5     D ≥ 1 ) =   ?

Dada pela fórmula:

P D = 5     D ≥ 1 ) = P D = 5 ∩ D ≥ 1 P D ≥ 1

Passo 9

A interseção P ( D = 5 ∩ D ≥ 1 ) é exatamente o valor de P ( D = 5 ) , concorda ?

A interseção entre tirar mais de uma dourada e tirar 5 douradas é também tirar 5 douradas. Com isso:

P D = 5 = 5 5 . 0,4 5 . 0,6 0 = 0,01024

O valor de P D ≥ 1 = 0,92224 a gente já calculou.

Substituindo na fórmula da prob. condicional.

P D = 5     D ≥ 1 ) = 0,01024 0,92224 ≈ 0,0111

Resposta

a   109,54

b   0,92224

c   0,0111

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