Teorema Central do Limite
Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.
(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de , a esperança de e a variância de . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, .
Passo 1
Bom, agora é como se fossemos representar esse experimento 30 vezes.
E só temos duas possibilidades: sucesso, que é quando não acontecem desintegrações nesse intervalo, e fracasso quando acontecem.
Precisamos então descobrir a probabilidade do sucesso, ou seja, de não haver desintegração antes de 6 segundos!
Passo 2
Primeiro a gente sabe que 1 minuto tem 60 segundos.
Se pra 60 segundos
Então para 6 segundos
Então nossa nova variável será.
Se a gente quer que não aconteça desintegração nesse tempo, então temos que calcular .
Usando a fórmula de Poisson.
Passo 3
Beleza, então a probabilidade de sucesso é:
Então, para , a gente tem um caso de Binomial.
Então a função de probabilidade genérica pra é:
Passo 4
Calcular e .
Tranquilo, só aplicar as fórmulas da binomial.
Passo 5
Bom, o que a gente vai ter que fazer é aquela aproximação da Binomial pela Normal.
Com isso, a gente vai ter que:
Onde:
Passo 6
Vamos calcular Fazendo o processo de padronização da Normal e levando em consideração a correção da continuidade.
Procurando na tabela, você vai encontrar: