P1 – UFRJ – 2016.1 – Questão 02
Uma loja vende em média 3 microcomputadores por dia. Admita que a demanda por este produto segue uma distribuição de Poisson. Ao verificar o estoque, observa-se existirem 2 microcomputadores. Sabe-se que a nova remessa só chegará depois de alguns dias. Qual a probabilidade de que, no fim desse período, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar quando:
a) A nova remessa chega em 1 dia?
b) A nova remessa chega em 2 dias?
Suponha que agora esta loja faz parte de uma rede composta por 4 lojas, e que há independência entre as demandas por computadores nas 4 lojas. Em cada uma das lojas há 2 computadores em estoque e a nova remessa chegará em 1 dia. O controlador geral do estoque receberá uma advertência se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for suficiente para atender a demanada.
c) Qual a probabilidade do controlador receber essa advertência?
Passo 1
O enunciado já nos ajuda falando qual é a distribuição, que é Poisson. Nós sabemos que o BIZU na distribuição de Poisson é descobrir o , que é a média.
Observando o enunciado, notamos que:
: V.A. que representa o número de microcomputadores demandados pelos clientes ao longo de dias.
A demanda média, que será o , é
A partir disso vamos para os itens...
Passo 2
a) A nova remessa chega em 1 dia?
Bom, sabemos que a demanda é por dias , portanto, para um dia teremos que
Aplicando na fórmula de Poisson
Substituindo
Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:
Passo 3
b) A nova remessa chega em 2 dias?
Esse ítem é análogo a letra (A). A única diferente agora é que o está mudando, ou seja, ao invés do ser igual a 1, temos que a nova remessa chega em 2 dias (alterando o
Aplicando na fórmula de Poisson
Substituindo
Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:
Passo 4
c)
Nesse ítem temos agora uma rede de lojas, compostas por quatro lojas independentes. Sabemos que:
- As lojas são independentes
- 2 computadores em estoque em cada uma
- A nova remessa chegará em 1 dia.
Ou seja, podemos olhar cada loja como olhamos para a loja no item 1.
Teremos que:
Substituindo
Passo 5
Agora vamos entender o que ele quer...
Queremos a probabilidade do controlador RECEBER a advertência, sendo esta enviada se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for o suficiente. Ou seja, se tivermos falta de estoque em duas, três ou quatro das quatro lojas. Certo?
Lembram do bizu do pelo menos?
Passo 6
Vamos olhar então para esses dois eventos:
1) Em toda as lojas
Como as lojas são idênticas, teremos que a probabilidade de não faltar estoque é igual para todas.
Como são eventos independentes podemos multiplicar:
2)
Primeira coisa que devemos fazer é escolher qual dessas lojas será a sem estoque. Para isso faremos uma combinação:
Agora vamos olhar para as probabilidades
Como os eventos são independentes, podemos multiplicar suas probabilidades, portanto:
Passo 7
Desta forma
Obs.: Nesse item (c) poderíamos olhar como uma distribuição binomial em que Y seria nossa V.A. e ela representaria o número de lojas que não atendem a demanda ao longo de 1 dia.
Olhando desse jeito, o que iríamos buscar seria:
Em que
Resposta
a) 0,4231901
b) 0,0619688
c) 0,793