Uma loja vende em média 3 microcomputadores por dia. Admita que a demanda por este produto segue uma distribuição de Poisson. Ao verificar o estoque, observa-se existirem 2 microcomputadores. Sabe-se que a nova remessa só chegará depois de alguns dias. Qual a probabilidade de que, no fim desse período, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar quando:

a) A nova remessa chega em 1 dia?

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Suponha que agora esta loja faz parte de uma rede composta por 4 lojas, e que há independência entre as demandas por computadores nas 4 lojas. Em cada uma das lojas há 2 computadores em estoque e a nova remessa chegará em 1 dia. O controlador geral do estoque receberá uma advertência se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for suficiente para atender a demanada.

c) Qual a probabilidade do controlador receber essa advertência?

Passo 1

O enunciado já nos ajuda falando qual é a distribuição, que é Poisson. Nós sabemos que o BIZU na distribuição de Poisson é descobrir o λ , que é a média.

Observando o enunciado, notamos que:

X   : V.A. que representa o número de microcomputadores demandados pelos clientes ao longo de t dias.

A demanda média, que será o λ , é

λ = 3   m i c r o c o m p u t a d o r e s / d i a

A partir disso vamos para os itens...

Passo 2

a) A nova remessa chega em 1 dia?

Bom, sabemos que a demanda é por dias t , portanto, para um dia teremos que

λ = 3 × t = 3 × 1 = 3

Aplicando na fórmula de Poisson

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 3 . λ x x !

Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P ( X = 1 ) ) + P ( X = 2 )

P X ≤ 2 = e - 3 . λ 0 0 ! + e - 3 . λ 1 1 ! + e - 3 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,4231901

Passo 3

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Esse ítem é análogo a letra (A). A única diferente agora é que o t está mudando, ou seja, ao invés do t ser igual a 1, temos que a nova remessa chega em 2 dias (alterando o λ )

λ = 3 × t = 3 × 2 = 6

Aplicando na fórmula de Poisson

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 6 . λ x x !

Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P ( X = 1 ) ) + P ( X = 2 )

P X ≤ 2 = e - 6 . λ 0 0 ! + e - 6 . λ 1 1 ! + e - 6 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,0619688

Passo 4

c)

Nesse ítem temos agora uma rede de lojas, compostas por quatro lojas independentes. Sabemos que:

- As lojas são independentes

- 2 computadores em estoque em cada uma

- A nova remessa chegará em 1 dia.

Ou seja, podemos olhar cada loja como olhamos para a loja no item 1.

Teremos que:

λ = 3 × 1 = 3

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 3 . λ x x !

Passo 5

Agora vamos entender o que ele quer...

Queremos a probabilidade do controlador RECEBER a advertência, sendo esta enviada se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for o suficiente. Ou seja, se tivermos falta de estoque em duas, três ou quatro das quatro lojas. Certo?

Lembram do bizu do pelo menos?

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a

P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e + P ( a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e )

Passo 6

Vamos olhar então para esses dois eventos:

1) P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e → Em toda as lojas P ( X ≤ 2 )

Como as lojas são idênticas, teremos que a probabilidade de não faltar estoque é igual para todas.

P X ≤ 2 = P X ≤ 2 = e - 3 . λ 0 0 ! + e - 3 . λ 1 1 ! + e - 3 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,4231901

Como são eventos independentes podemos multiplicar:

P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 0,4231901 4 = 0,032

2)   P ( a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e )

Primeira coisa que devemos fazer é escolher qual dessas lojas será a sem estoque. Para isso faremos uma combinação:

4 1 = 4 ! 1 ! . 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

Agora vamos olhar para as probabilidades

P t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = P X > 2 = 1 - P X ≤ 2

P t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 1 - 0,4231901 = 0,5768099

Como os eventos são independentes, podemos multiplicar suas probabilidades, portanto:

P a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 4 × 0,423 1901 3 × 0,5768099 = 0,175

Passo 7

Desta forma

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - 0,032 + 0,175 = 0,793

Obs.: Nesse item (c) poderíamos olhar como uma distribuição binomial em que Y seria nossa V.A. e ela representaria o número de lojas que não atendem a demanda ao longo de 1 dia.

Y ~ B i n o m i a l ( n = 4 , p = 0,577 )

Olhando desse jeito, o que iríamos buscar seria:

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = P ( Y ≥ 2 )

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a   = 1 - P X < 2 = 1 - P Y = 0 + P Y = 1

Em que

P Y = y = 4 y 0,577 y 0,423 4 - y

Resposta

a) 0,4231901

b) 0,0619688

c) 0,793

Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados