P1 de Probest da UFRJ - 2019.1

Suponha que um livro-texto de 400 páginas apresente um total de 40 erros. Suponha também que os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto. Apresente para cada item uma variável aleatória e um modelo probabilístico adequado para ela. Observe que nos itens (a), (b) e (c) você está modelando uma contagem de eventos em um espaço fixo definido (use Poisson). Calcule a probabilidade de que:

(a) Numa página, aleatoriamente selecionada, não haja erro algum;

(b) Um capítulo de 20 páginas apresente 2 ou mais erros;

(c) Um capítulo de 50 páginas apresente exatamente 3 erros;

(d) Num grupo de 5 capítulos, todos de 20 páginas, exatamente 3 capítulos apresentem 2 ou mais erros.

O comprimento das peças produzidas por uma máquina pode ser tratado como uma variável aleatória Normal com valor esperado µ (mm) e variância (mm2 ). Uma peça pode ser considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 2,5 mm e 47,5% das peças produzidas têm comprimento entre 2,5 mm e 3,42 mm.

(a) Calcule µ e σ.

(b) Determine a probabilidade de que uma peça não seja defeituosa.

(c) Calcule DIQ, distância interquartil da v.a. comprimento das peças.

Dizemos que a média de uma característica de interesse de um processo em uma linha de produção está “em controle” se a média aritmética de medições desta característica cai entre os limites inferior e superior pré-estabelecidos pelo fabricante. Caso contrário dizemos que está “fora de controle". Desejamos estudar o processo de produção de filamentos de lâmpadas em uma linha de produção através de suas espessuras. Suponha que as espessuras na linha de produção possuam uma média de 148 mícrons e desvio-padrão de 15 mícrons. Foi obtida uma amostra com 25 medições dessas espessuras, e admita que os limites inferior e superior de controle são iguais a, respectivamente, 142 e 156 mícrons.

(a) Qual a probabilidade do processo estar fora de controle? Que suposições foram utilizadas?

(b) Se a probabilidade do processo estar em controle fosse igual a 0, 95, quais seriam os novos limites superior e inferior de controle supondo que são simétricos em torno da média do processo?

Observação: Admita que n=25 pode ser considerado suficientemente grande para que se possa usar o Teorema Central do Limite.

Em um país hipotético, 60% dos eleitores não possuem preferência partidária definida, 20% dos eleitores apoiam partidos de oposição e 20% apoiam partidos da situação. Admita que:

• Há independência entre ter ou não preferência partidária definida e aprovar ou não o governo atual;

• Entre os eleitores que apoiam partidos de oposição, todos desaprovam o governo;

• Entre os eleitores que apoiam partidos da situação, 75% aprovam o governo.

(a) Qual é a proporção dos eleitores que aprovam o governo?

(b) Dado que um eleitor aprova o governo, qual é a probabilidade condicional: De que ele não tenha preferência partidária definida? De que apoie um partido de oposição? De que apoie um partido da situação?

(c) Dado que um eleitor não aprova o governo, qual é a probabilidade condicional: De que não tenha preferência partidária definida? De que apoie um partido de oposição? De que apoie um partido da situação?