Dizemos que a média de uma característica de interesse de um processo em uma linha de produção está “em controle” se a média aritmética de medições desta característica cai entre os limites inferior e superior pré-estabelecidos pelo fabricante. Caso contrário dizemos que está “fora de controle". Desejamos estudar o processo de produção de filamentos de lâmpadas em uma linha de produção através de suas espessuras. Suponha que as espessuras na linha de produção possuam uma média de 148 mícrons e desvio-padrão de 15 mícrons. Foi obtida uma amostra com 25 medições dessas espessuras, e admita que os limites inferior e superior de controle são iguais a, respectivamente, 142 e 156 mícrons.

(a) Qual a probabilidade do processo estar fora de controle? Que suposições foram utilizadas?

(b) Se a probabilidade do processo estar em controle fosse igual a 0, 95, quais seriam os novos limites superior e inferior de controle supondo que são simétricos em torno da média do processo?

Observação: Admita que n=25 pode ser considerado suficientemente grande para que se possa usar o Teorema Central do Limite.

Note que a gente não sabe a distribuição exata demas a observação do enunciado pede pra gente usar o Teorema Central do Limite, que diz que a média aritmética segue aproximadamente uma distribuição normal (desde que as medições feitas sejam independentes entre si:

Onde é a média que já tínhamos: , e nossa variância muda! Agora ela é dada por

Usando o Teorema Central do Limite, podemos calcular as probabilidades da mesma forma que fazemos para a distribuição normal: transformamos o que temos em normal-padrão e usamos a tabela! Só temos que ficar ligados que agora o nosso desvio-padrão mudou, agora temos que usar Assim:

= 0,0228 (pela tabela da normal-padrão)

(também pela tabela)

Agora bastar somar essas probabilidades para achar o que queríamos:

(b) Queremos achar um limite superior e um limite inferior de modo que

Como é dado que eles são simétricos em relação à média, podemos escrever

Agora vamos de novo transformar em normal-padrão:

=0,95

Agora é só procurar na tabela por um cara que dê probabilidade de 0,95:

Assim,

Substituindo agora para achar e

mícrons

mícrons