Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Em um país hipotético, 60% dos eleitores não possuem preferência partidária definida, 20% dos eleitores apoiam partidos de oposição e 20% apoiam partidos da situação. Admita que:

• Há independência entre ter ou não preferência partidária definida e aprovar ou não o governo atual;

• Entre os eleitores que apoiam partidos de oposição, todos desaprovam o governo;

• Entre os eleitores que apoiam partidos da situação, 75% aprovam o governo.

(a) Qual é a proporção dos eleitores que aprovam o governo?

(b) Dado que um eleitor aprova o governo, qual é a probabilidade condicional: De que ele não tenha preferência partidária definida? De que apoie um partido de oposição? De que apoie um partido da situação?

(c) Dado que um eleitor não aprova o governo, qual é a probabilidade condicional: De que não tenha preferência partidária definida? De que apoie um partido de oposição? De que apoie um partido da situação?

Passo 1

Vamos nomear os eventos:

A 1 : não tem preferência partidária definida;,

A 2 : apoia um partido de oposição;

A 3 : apoia um partido da situação; e

B : aprova o governo

Passo 2

(a) Esse item tem a cara de Teorema da Probabilidade Total, porque temos as probabilidades condicionais e é pedido uma probabilidade que não é condicional: P ( B ) .

Vamos usar a fórmula então:

P ( B )   =   P ( B   |   A 1 ) ⋅ P ( A 1 ) + P ( B   |   A 2 ) ⋅ P ( A 2 ) + P ( B   |   A 3 ) ⋅ P ( A 3 )

Passo 3

Vamos ver o que que foi dado:

P ( A 1 )   = 0,6  

P ( A 2 )   =   0,2

P ( A 3 )   =   0,2

P ( B   |   A 2 )   =   0

P ( B   |   A 3 )   =   0,75 .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:

P ( B )   =   P ( B   |   A 1 ) × 0,6 + 0 × 0,2 + 0,75 × 0,2 =   0,6 × P ( B   |   A 1 )   +   0,15 .

Passo 5

Repara que “faltou” um dado: P ( B   |   A 1 ) . Mas aqui que tá a malandragem: no enunciado, foi dito que há independência entre não ter preferência partidária e apoiar o governo, isso é, A 1 e   B são independentes. Logo:

P ( B   |   A 1 )   =   P ( B ) .

Passo 6

Agora vamos substituir:

P ( B )   =   0,6 × P ( B   |   A 1 )   +   0,15   =   0,6 × P ( B )   +   0,15

Resolvendo agora para P ( B ) :

P ( B )   =   0,15 0,4 = 0,375 .

Passo 7

(b) Agora ele quer saber P ( A 1 |   B ) ,   P ( A 2   |   B ) e P ( A 3   |   B ) .

Como A 1 e   B são independentes, P ( A 1 |   B )   =   P ( A 1 )   =   0,6

Como A 2 e   B são mutuamente exclusivos, P ( A 2   |   B ) = 0 .

Pra descobrir P ( A 3   |   B ) , vamos usar o Teorema de Bayes:

P ( A 3   |   B ) = P ( B   |   A 3 ) ⋅ P ( A 3 ) P ( B ) = 0,75 × 0,2 0,375 = 0,4 .

Passo 8

(c) Agora ele quer saber P ( A 1 |   B c ) ,   P ( A 2   |   B c ) e P ( A 3   |   B c ) .

De novo, Como A 1 e   B são independentes, também é verdade que A 1 e   B c são independentes. Sendo assim, P ( A 1 |   B c )   =   P ( A 1 )   =   0,6

Passo 9

Para calcular P ( A 2   |   B c ) , vamos usar a fórmula de probabilidade condicional:

P ( A 2   |   B c )   =   P ( A 2 ∩ B c ) P ( B c ) .

Como A 2 ∩ B é vazio, temos que A 2 ⊂ B c . Assim, A 2 ∩ B   =   A 2 . Logo

P ( A 2   |   B c )   =   P ( A 2 ) P ( B c ) = 0,2 1   -   0,375 = 0,32

Passo 10

Para calcular P ( A 3   |   B c ) , vamos usar o Teorema de Bayes de novo:

P ( A 3   |   B c ) = P ( B c   |   A 3 ) ⋅ P ( A 3 ) P ( B c ) = ( 1 - 0,75 ) × 0,2 1 - 0,375 = 0,0 8 .

Resposta

(a) 0,375

(b) 0,6; 0; 0,4

(c) 0,6; 0,32; 0,08

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