O comprimento das peças produzidas por uma máquina pode ser tratado como uma variável aleatória Normal com valor esperado µ (mm) e variância (mm2 ). Uma peça pode ser considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 2,5 mm e 47,5% das peças produzidas têm comprimento entre 2,5 mm e 3,42 mm.
(a) Calcule µ e σ.
(b) Determine a probabilidade de que uma peça não seja defeituosa.
(c) Calcule DIQ, distância interquartil da v.a. comprimento das peças.
Passo 1
(a) Primeiro vamos lembrar que uma v.a. normal é simétrica em relação à média. Isso quer dizer que Como o enunciado diz que temos que
Passo 2
Foi dado que Fazendo a transformação para a normal padrão (subtrai a média e divide pelo desvio-padrão), temos:
Olhando na tabela da normal padrão, temos que Assim:
Passo 3
(b) Uma peça não é defeituosa se a diferença (em valor absoluto) entre o comprimento da peça e a média for menor que um desvio-padrão. Isso é:
Então vamos calcular, de novo dividindo pelo desvio-padrão:
Agora é só olhar na tabela da normal padrão!
Passo 4
(c) A distância interquartil é dada por onde quer dizer o número tal que e o número tal que .
Pra gente descobrir esses números, fazemos o truque de subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão (de novo), pra olhar na tabela da normal padrão:
Aí a gente acha que
Fazendo a mesma conta para , obtemos que
Passo 5
Agora é só subtrair um do outro!
Resposta
- e
- 0,6827