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Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Suponha que um livro-texto de 400 páginas apresente um total de 40 erros. Suponha também que os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto. Apresente para cada item uma variável aleatória e um modelo probabilístico adequado para ela. Observe que nos itens (a), (b) e (c) você está modelando uma contagem de eventos em um espaço fixo definido (use Poisson). Calcule a probabilidade de que:

(a) Numa página, aleatoriamente selecionada, não haja erro algum;

(b) Um capítulo de 20 páginas apresente 2 ou mais erros;

(c) Um capítulo de 50 páginas apresente exatamente 3 erros;

(d) Num grupo de 5 capítulos, todos de 20 páginas, exatamente 3 capítulos apresentem 2 ou mais erros.

Passo 1

Ele pediu pra gente usar Poisson pelo menos nos itens (a), (b) e (c) . Vamos então definir nossa v.a. X como sendo o número de erros em uma página:

X   ∼ P o i s s o n ( λ )

Agora a gente tem que lembrar que λ é a média dessa v.a. Como ele disse que em 400 páginas existem 40 erros, a média de erros por página é de 40 / 400   =   0,1   =   λ .

Passo 2

(a) Se ele quer saber a probabilidade de não ocorrer nenhum erro em uma página, temos que calcular P ( X = 0 ) . Usando a fórmula da Poisson:

P ( X = 0 )   = e - 0,1 ⋅ ( 0,1 ) 0 0 !   =   e - 0,1   ≈ 0,9048

Passo 3

(b) Agora ele quer saber a probabilidade de erros em 20 páginas. Aqui vai um bizu: a soma de v.a’s de Poisson independentes ainda é uma Poisson, mas o parâmetro vai mudar. Como assim?

Olha, se em cada página o número de erros é uma v.a. de Poisson com média λ =   0,1 , em 20 páginas o número total de erros é a soma dos erros em cada página.

Então vamos definir nossa v.a. Y como o número de erros em 20 páginas. Assim:

Y   ∼ P o i s s o n (   λ ^ )

Agora outro bizu: o nosso parâmetro novo   λ ^ vai ser a soma dos nossos parâmetros antigos. Então:   λ ^ = 20 ⋅ 0,1   =   2 .  

Passo 4

Ele pede então pra gente calcular P ( Y   ≥   2 ) .

P ( Y ≥   2 )   =   1   -   P ( Y <   2 )  

Mas P ( Y < 2 )   =     P ( Y = 0 )   +   P ( Y = 1 )   =   e - 2 ⋅ 2 0 0 !   +   e - 2 ⋅ 2 1 1 ! ≈ 0,41

Assim, P ( Y   ≥   2 )   =   1 - 0,41   =   0,59

Passo 5

(c) Agora é a mesma ideia do item (b), mas com seu novo parâmetro sendo igual a

λ =   50 ⋅ 0,1   =   5

Vamos chamar de Z a v.a que conta o número de erros em 50 páginas. O que ele quer então é

P ( Z = 3 )   =   e - 5 5 3 3 ! ≈ 0,14

Passo 6

(d) A grande sacada desse item é que cada capítulo conter 2 ou mais erros (ou não) pode ser modelado por uma v.a. de Bernoulli (só tem dois resultados possíveis: ter 2 ou mais erros ou ter menos de dois erros). Como a gente vai ver 5 capítulos, a v.a. que a gente quer usar é a Binomial: experimentos repetidos de Bernoulli.

Agora a gente precisa saber os nossos parâmetros da Binomial: n (número de repetições) e p (probabilidade de sucesso: conter dois ou mais erros).

Como vamos ver 5 capítulos, temos n = 5 . A probabilidade de sucesso foi calculada no item (b): p   =   0,59 .

Passo 7

Vamos chamar de W nossa v.a. que conta o número de capítulos que contém 2 ou mais erros. Assim W   ∼ B i n ( 5 ;   0,59 )

Então queremos P ( W   =   3 ) . Vamos lembrar a fórmula geral da Binomial:

P ( W   =   k )   = n k ⋅ p k ⋅ ( 1 - p ) n - k

→ P ( W = 3 )   = 5 3 ( 0,59 ) 3 ( 0,41 ) 2 = 0.3452

Resposta

  1. 0,9048
  2. 0,59
  3. 0,14
  4. 0,3452

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