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Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; probest; P1; 2022.2; Questão 3

Parzival é um famoso jogador de um popular jogo online. É sabido que sua pontuação por partida desse jogo segue uma distribuição Normal com média de 120 pontos e desvio padrão de 20 pontos. Se, em uma partida, ele consegue pontuação superior a 150 , ele ganha um item (prêmio) raro no jogo; e se consegue pontuação entre 110   e   150 , ele ganha um item comum.

(a) Qual é a probabilidade de Parzival ganhar um item raro em uma partida? E qual é a probabilidade de ele ganhar um item comum?

(b) Sabendo que em uma partida Parzival não ganhou o item raro, qual é a probabilidade de ele ter ganhado o item comum?

(c) Acima de qual valor estão 5 % das melhores pontuações de Parzival?

Passo 1

Fala galerinha, vamos para mais uma questão de problema. Essa é boa, vamos trabalhar com a distribuição normal.

Bem, o enunciado nos diz que a distribuição de pontos do Parzival segue uma normal com média 120 e desvio padrão 20 . Ou seja, se X é a pontuação dele, então

X ∼ N ( 120,400 )

Além disso, sabemos que se a pontuação for superior a 150 , ele ganha um item (prêmio) raro no jogo; e se for entre 110   e   150 , ele ganha um item comum.

Agora que temos as informações do enunciado, vamos fazer a questão

Passo 2

Vamos para a letra a ) . Qual é a probabilidade de Parzival ganhar um item raro em uma partida? E qual é a probabilidade de ele ganhar um item comum?

Vimos no passo 1 que ) P ( D 1 ) = P ( D 2 ) = 1 / 2

Bem a probabilidade dele ganhar um item raro é

P ( X ≥ 150 )

Mas como X ∼ N ( 120,400 ) , podemos fazer a seguinte operação

P ( X ≥ 150 ) = P ( ( X - 120 ) / 20 ≥ ( 150 - 120 ) / 20 )

Subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão

Agora, temos que Z = ( X - 120 ) / 20 ∼ N ( 0,1 )

Dessa forma,

P ( X ≥ 150 ) = P ( ( X - 120 ) / 20 ≥ ( 150 - 120 ) / 20 )

= P ( Z ≥ 3 / 2 )

= 1 - P ( Z ≤ 3 / 2 )

Logo a probabilidade de ganhar um item raro é

1 - P ( Z ≤ 3 / 2 )

E de ganhar um item comum? Bem, seria

P ( 110 ≤ X ≤ 150 )

subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão de X temos:

P ( 110 ≤ X ≤ 150 ) = P ( - 1 / 2 ≤ Z ≤ 3 / 2 )

= P ( Z ≤ 3 / 2 ) - P ( Z ≤ - 1 / 2 )

Os valores numéricos dessas probabilidades podem ser encontrados consultando uma tabela-z

Passo 3

Agora vamos para a letra b )

Sabendo que em uma partida Parzival não ganhou o item raro, qual é a probabilidade de ele ter ganhado o item comum?

Aqui, temos uma probabilidade condicional. Sabemos que ele não ganhou item raro. Logo queremos calcular

P ( c o m u m | n ã o   g a n h o u   r a r o ) = P ( c o m u m   e   n ã o   g a n h o u   r a r o ) / P ( n ã o   g a n h o u   r a r o )

Bem, vamos pensar nos eventos, para ele ganhar c o m u m   e   n ã o   g a n h o u   r a r o então a pontuação no jogo tem que ter sido 110 ≤ X ≤ 150 . E na letra anterior, calculamos a probabilidade dele GANHAR o raro. Logo como não ganhar é o evento complementar, temos que

P ( n ã o   g a n h o u   r a r o ) = 1 - P ( g a n h a r )

= 1 - 1 + P ( Z ≤ 3 / 2 )

= P ( Z ≤ 3 / 2 )

E temos que

P ( c o m u m   e   n ã o   g a n h o u   r a r o ) = P ( 110 ≤ X ≤ 150 )

= P ( Z ≤ 3 / 2 ) - P ( Z ≤ - 1 / 2 )

Logo

P ( c o m u m | n ã o   g a n h o u   r a r o ) = P ( c o m u m   e   n ã o   g a n h o u   r a r o ) / P ( n ã o   g a n h o u   r a r o )

= P ( Z ≤ 3 / 2 ) - P ( Z ≤ - 1 / 2 ) P ( Z ≤ 3 / 2 )

Passo 4

Agora, vamos para a letra c ) . Acima de qual valor estão 5 % das melhores pontuações de Parzival?

Ou seja, queremos saber x tal que

P ( X ≥ x ) = 0.05  

Logo, subtraindo a média, e dividido pelo desvio padrão

P ( Z ≥ ( x - 120 ) / 20 ) = 0.05  

onde

Z ∼ N ( 0,1 )

Olhando a tabela z , temos que

P ( Z > 1.64 ) = 0.05

Logo para as probabilidades serem iguais, precisamo que

( x - 120 ) / 20 = 1.64

⇒ x = 152.8

E esse é o valor a partir do qual as pontuações estão entre as 5 % melhores

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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