Dois dados estão dentro de uma urna. Ambos os dados são honestos (a probabilidade de sair cada uma das faces é a mesma), porém, enquanto o primeiro dado (dado 1) tem as faces numeradas de 1 a 6, o segundo dado (dado 2) tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3. Um dos dados é selecionado ao acaso e retirado da urna. Responda às seguintes questões:

(a) Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?

(b) Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?

(c) Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês vamos para mais uma questão de probest essa é boa, pois vamos poder revisar alguns conceitos importantes de probabilidade. Vamos começar a entender as informações do enunciado.

Bem temos dois dados D 1 e D 2 , a probabilidade de escolhermos um dos dois dados é a mesma, ou seja é 1 / 2 . Além disso, sabemos que D 1 é um dado normal. Enquanto que D 2 tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3.

Agora que temos uma ideia melhor do problema, vamos começar a resolver a letra a )

Passo 2

Vamos para a letra a ) . Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?

Bem, como podemos escolher entre dois dados, vamos ter usar a lei da probabilidade total, que diz que se A 1 , A 2 , ⋯ ,   A n é uma partição do espaço amostral, então para qualquer conjunto B

P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A 1 )

No nosso caso, os dados, D 1 e D 2 formam a partição, e o evento B de interesse é o evento sair face de número 2?

Então temos:

P ( f a c e   2 ) = P ( f a c e   2 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( f a c e   2 | D 2 ) P ( D 2 )

Vimos no passo 1 que ) P ( D 1 ) = P ( D 2 ) = 1 / 2

Agora, quem é P ( f a c e   2 | D 1 ) ?

Bem se selecionamos o primeiro dado, o dado convencional, então ele só tem uma face contendo o número 2 . Logo

P ( f a c e   2 | D 1 ) = 1 / 6

E se selecionamos o segundo dado, o que tem duas faces 2 , então

P ( f a c e   2 | D 2 ) = 2 / 6 = 1 / 3

Dessa forma, temos que

P ( f a c e   2 ) = P ( f a c e   2 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( f a c e   2 | D 2 ) P ( D 2 )

= 1 2 ( 1 / 6 + 1 / 3 )

= 1 / 4

Passo 3

Agora vamos para a letra b )

Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?

Bem, vamos começar pensando como podemos obter uma soma menor ou igual a 3 no lançamento de dois dados iguais. Ora, para isso ocorrer as faces obtidas podem ser:

( 1,1 )   ;   ( 1,2 ) ;   ( 2,1 )

Logo, a probabilidade da soma ser menor ou igual a 3 é

P ( s o m a   ≤ 3 ) = P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) P ( D 2 )

Dado que estamos no primeiro dado, qual é a P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) ? Ora é

P ( 1,1 )   + P ( 1,2 ) +   P ( 2,1 ) = 1 / 36 + 1 / 36 + 1 / 36

1 / 12

Dado que estamos no segundo dado, qual é a P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) ? Ora, como esse dado tem duas faces 1 e duas faces 2 então é

P ( 1,1 )   + P ( 1,2 ) +   P ( 2,1 ) = 1 / 9 + 1 / 9 + 1 / 9

= 1 / 3

Portanto,

P ( s o m a   ≤ 3 ) = P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) P ( D 2 )

= 1 2 ( 1 / 12 + 1 / 9 )

= 5 / 24

Passo 4

Agora, vamos para a letra c ) . Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?

Aqui, vamos precisar usar duas coisas: a lei da probabilidade total, e o teorema de Bayes. Que diz que

P ( B | A ) = P ( A | B ) P ( B ) / P ( A )

Onde B = D 1 e A o evento três números 1 . E como fizemos nas questões anteriores, temos que

P ( A ) = P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

Vamos começar calculando o denominador

P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

A probabilidade de tirarmos três 1 dado que estamos com o primeiro dado é:

P ( A | D 1 ) = 1 6 * 1 6 * 1 6

A probabilidade de tirarmos três 1 dado que estamos com o segundo dado é:

P ( A | D 1 ) = 1 3 * 1 3 * 1 3

pois a face 1 aparece duas vezes no dado.

Logo:

P ( D 1 | A ) = P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) / P ( A )

= P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

substituindo os valores

= ( 1 / 216 ) ( 1 / 2 ) / ( ( 1 / 216 ) ( 1 / 2 )   +   ( 1 / 27 ) ( 1 / 2 ) )   = 1 / 9

Logo se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1 é de 1 / 9

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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