UFRJ; Sem campus; probest; P1; 2022.2; Questão 1
Dois dados estão dentro de uma urna. Ambos os dados são honestos (a probabilidade de sair cada uma das faces é a mesma), porém, enquanto o primeiro dado (dado 1) tem as faces numeradas de 1 a 6, o segundo dado (dado 2) tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3. Um dos dados é selecionado ao acaso e retirado da urna. Responda às seguintes questões:
(a) Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?
(b) Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?
(c) Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês vamos para mais uma questão de probest essa é boa, pois vamos poder revisar alguns conceitos importantes de probabilidade. Vamos começar a entender as informações do enunciado.
Bem temos dois dados e , a probabilidade de escolhermos um dos dois dados é a mesma, ou seja é . Além disso, sabemos que é um dado normal. Enquanto que tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3.
Agora que temos uma ideia melhor do problema, vamos começar a resolver a letra
Passo 2
Vamos para a letra . Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?
Bem, como podemos escolher entre dois dados, vamos ter usar a lei da probabilidade total, que diz que se é uma partição do espaço amostral, então para qualquer conjunto
No nosso caso, os dados, e formam a partição, e o evento de interesse é o evento sair face de número 2?
Então temos:
Vimos no passo 1 que
Agora, quem é ?
Bem se selecionamos o primeiro dado, o dado convencional, então ele só tem uma face contendo o número . Logo
E se selecionamos o segundo dado, o que tem duas faces , então
Dessa forma, temos que
Passo 3
Agora vamos para a letra
Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?
Bem, vamos começar pensando como podemos obter uma soma menor ou igual a no lançamento de dois dados iguais. Ora, para isso ocorrer as faces obtidas podem ser:
Logo, a probabilidade da soma ser menor ou igual a é
Dado que estamos no primeiro dado, qual é a Ora é
Dado que estamos no segundo dado, qual é a Ora, como esse dado tem duas faces e duas faces então é
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos para a letra . Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?
Aqui, vamos precisar usar duas coisas: a lei da probabilidade total, e o teorema de Bayes. Que diz que
Onde e o evento três números . E como fizemos nas questões anteriores, temos que
Vamos começar calculando o denominador
A probabilidade de tirarmos três dado que estamos com o primeiro dado é:
A probabilidade de tirarmos três dado que estamos com o segundo dado é:
pois a face aparece duas vezes no dado.
Logo:
substituindo os valores
Logo se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1 é de
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento Acima